2.2. Спектральное представление сигналов

Математическая модель повторяющегося сигнала во времени описывается формулой

где – период сигнала. При этом можно записать ряд Фурье

,

где – ортогональные функции; – коэффициенты рядя Фурье.

Представление повторяющегося сигнала в виде тригонометрического ряда Фурье:

,

Представление сигнала в комплексной форме:

Математическая модель сигнала с ограниченным спектром определяется выражением

,

где S() – спектральная плотность сигнала.

Эта формула носит название обратного преобразования Фурье.

Спектральная плотность сигнала записывается в виде

2.3. Теорема Котельникова

Для понимания принципов функционирования цифровых систем передачи информации рассмотрим более подробно теорему Котельникова.

Любой непрерывный сигнал, ограниченный некоторыми предельными значениями, может быть дискретизирован по времени и по уровню (квантование).

Дискретизация – физическая операция преобразования непрерывного по времени сигнала в дискретную форму, которая предполагает сохранение его мгновенных значений в выбранные моменты времени (моменты дискретизации).

Квантование – физическая операция преобразования непрерывного по уровню сигнала в дискретный по уровню сигнал (квант), т. е. замена его мгновенных значений в выбранные моменты времени t₁, t₂, …, t_i фиксированными уровнями. Эти уровни затем преобразуются в дискретную последовательность определенной разрядности (цифровой код). Разрядность таких последовательностей определяется требуемой точностью восстановления мгновенных значений сигнала.

Обработка (передача) дискретной информации (последовательности) имеет ряд преимуществ перед обработкой (передачей) информации, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный код и обрабатываются с помощью ЭВМ.

Принцип дискретизации аналогового сигнала и его восстановления основан на теореме отсчетов академика В. А. Котельникова, которая говорит о следующем

Теорема. Любой непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы:

t = 1 / (2F_max),

где F_max – максимальная частота в спектре сигнала. Иллюстрация теоремы приведена на рисунке 2.4.

Иначе говоря, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f_д = 1/t в два раза выше указанной верхней частоты.

Для восстановления сигнала x(t) необходимо на вход идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x(t_k) в моменты времени t_k= k t

(2.1)

где _max = 2F_max ; t = 1/(2F_max) – шаг дискретизации; F_max – верхняя граница спектра частот; x(kt) – отсчеты функции в моменты дискретизации t_k= kt,

. (2.2)

Использование теоремы Котельникова встречает определенные трудности, связанные с тем, что допущение об ограниченности частотного спектра для реальных сигналов никогда не выполняется, т. к. любой ограниченный во времени непериодический сигнал всегда имеет бесконечный спектр. Поэтому определение верхней границы частотного спектра F_max обычно производится приближенно (по критерию 90 - процентного содержания энергии или средней мощности сигнала). При этом энергия отсекаемой части спектра будет характеризовать погрешность интерполяции. Дисперсия данной погрешности составит

(2.3)

где числитель – средняя мощность отсекаемой части спектра; T_с – длительность функции x(t); x_max и x_min – экстремальные значения функции. Кроме того, для восстановления сигнала невозможно выполнить идеальный ФНЧ с АЧХ прямоугольной формы. В связи с этим частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше, чем в теореме Котельникова, т. е.

f_д=(3–5) F_max .

Если сигнал имеет конечную длительность τ, то число дискретных отсчетов во времени можно приближенно оценить

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена мгновенных значений уровней непрерывного сигнала x(t) дискретной шкалой x_i (i = 1, 2,..., m), в которой различные значения сигнала отличаются между собой на некоторое фиксированное значение , называемое шагом квантования.

При равномерном квантовании ( = const) число разрешаемых дискретных уровней x_i соответствует

m = (x_max – x_min )/,

где x_max и x_min – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала. Чем меньше , тем меньше получаемая ошибка – шум квантования.

В момент времени t_k значение ошибки определяется формулой

(t_k) = x(t_k)  x_b ,

где x_b – значение шкалы x_i, являющееся наиболее близким значению x(t_k).

Если в результате квантования любое из значений сигнала x(t_k), попавшее в интервал (х_i –/2; х_i +/2) , округляется до ближайшего х_i, то возникающая при этом ошибка (t_k) не превышает половины шага квантования, т. е.

|(t_k)|  0,5.

На практике шаг квантования  выбирают исходя из уровня помех, присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.