Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

II, 1939-1940

которые всеми нами отчетливо воспринимаются. Тогда как мы всего лишь указываем на разные способы употребления слов.

Это почти то же самое, что сказать: «голубое» должно обозначать голубой предмет, иначе нельзя было бы понять назначение этого слова.

77. Я придумал игру — с таким расчетом, что тот, кто начинает, всегда должен выиграть; значит, это не игра. Я изменяю ее; теперь все в порядке.

Проделал ли я эксперимент, в результате которого выяснилось, что начинающий всегда выигрывает? Или же выявилось, что это происходит потому, что мы склонны играть таким образом? Нет. Но ведь результат получился не таким, как ты ожидал! Конечно же, нет; но это не делает игру еще и некимэкспериментом.

Но что это значит: не знать, из-за чего исход всегда должен быть таким? Так ведь все дело в правилах. — Я хочу знать, каким образом я должен изменить правила, чтобы добиться верной игры. — Но ты же можешь изменить их, например, совсем — то есть выбрать вместо твоей совершенно другую игру. — А вот этого я не хочу. Я хочу в общем и целом сохранить правила и только устранить ошибку. — Но это так неопределенно. И к тому же просто неясно, что следует считать такой ошибкой.

Это почти то же самое, что сказать: в чем ошибка в этой музыкальной пьесе? Она нехорошо звучит в исполнении на этих инструментах. — Тогда как ошибку не обязательно искать в инструментовке; можно было бы искать ее в темах.

Предположим, однако, что игра такова, что тот, кто начинает, всегда может выиграть с помощью определенного простого трюка. Но это не дошло до сознания, — тогда это некая игра. И вот кто-то обращает на это наше внимание, и это перестает быть игрой.

Какой поворот можно дать этому, чтобы уяснить ситуацию? — Я ведь хочу сказать: <<И это перестает быть игрой», — а не: «И теперь мы понимаем, что это не было игрой».

Значит, я хочу сказать, это можно истолковать и так: кто-то другой не обратил наше внимание на что-то, но научил нас вместо нашей игры какой-то другой игре. — — Но как может новая игра вывести из употребления старую? — Мы теперь понимаем кое-что по-иному и не можем дальше играть так же наивно.

Игра состояла, с одной стороны, из наших действий (игровых действий) на доске; и эти игровые действия я мог бы сейчас вы-

107

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

полнять столь же хорошо, как прежде. Но с другой стороны, для игры было существенно, что я слепо пытался выиграть; теперь же

яне могу более вести себя таким образом.

78. Предположим: первоначально люди обычным образом практиковали 4 вида счета. Затем они начали использовать в вычислениях выражения в скобках, а также выражения типа (а — а). И вот они заметили, что, например, умножение становится при этом многозначным. Должно ли это было бы сбить их с толку? Должны ли были бы они сказать: «Теперь прочный фундамент арифметики, кажется, пошатнулся»?

Иесли бы они теперь требовали доказательства непротиворечивости, ибо иначе они на каждом шагу подвергались бы опасности

бы порядка, который бы их теперь успокоил. — А разве они как дети и их надо убаюкивать?

И все-таки умножение из-за своей многозначности стало как бы практически непригодным — то есть: неприменимым в прежних нормальных целях. Предсказания, которые основывались на умножениях, теперь бы не срабатывали. — (Если бы я хотел предсказать, какую длину будет иметь шеренга солдат, которая может быть образована из каре 50 χ 50, я снова и снова приходил бы к неправильным результатам.)

Значит, этот тип вычислений неправилен? — Скорее, он неприменим для этих целей. (Вероятно, применим для других.) Не вроде ли того, как если бы я однажды вместо умножения стал бы делить? (Такое действительно может случиться.)

Что означает: «Ты должен здесь умножать, а не делить!» — Что тут4 верной игрой является обычное умножение, что в нем не-

возможно оступиться? А что вычисление с помощью (а — а) — неподходящая игра — что в ней невозможно не споткнуться? (Описывать, а не объяснять — вот, чего мы хотим!)

А что, если мы не вполне ориентируемся в нашем исчислении? Мы в лунатическом сне прошли путь между пропастями. — Но даже если мы сейчас говорим: «Теперь мы бодрствуем», — можем ли мы быть уверены, что в один прекрасный день не проснемся? (И тогда скажем: значит, мы снова спали.)

Можем ли мы быть уверены, что не существует пропастей, которых мы не видим?

108

Π, 1939-1940

Аесли я бы сказал: пропастей в исчислении нет, если я их не вижу!

Ане сбивает ли нассейчас с толку чертенок? Ну, если и сбивает, это не имеет значения. Чего не знаешь, — о том не волнуешься. Предположим: один раз я делил бы на 3 таким образом:

а другой разтаким:

ιΤίίϊιίιΓιϊιίιιιι

и не заметил этого. — И вот кто-то обращает на это мое внимание.

На ошибку? А так ли уж безусловно, что это ошибка? И при каких обстоятельствах мы называем этоошибкой?

79. -ДО = φφΌβί.

ф(ф) = ~ф{ф)

Предложения ,,φ(φ)" и << ,,φ{φ)" иногда, кажется, говорят нам то одно и то же, иногда же совершенно противоположное. В зависимости оттого, как мы его рассматриваем, предложение «ф(ф)>>,

казалось бы, говорит то ~ф(ф), то нечто противоположное. И в одних случаях мы рассматриваем его какрезультат подстановки

Φΰ) φ

в другихкак

f

φ

Мы готовы заявить: «„Гетерологический" — это не гетерологический; то есть можно назвать это „гетерологическим" по определению». И этозвучит вполне правильно, проходит совершенно гладко, и противоречие вовсе не обязательно бросается нам в глаза. Если же противоречие замечено, мы склонны были бы прежде всего сказать: в утверждение о том, что ξ гетерологично, мы

109

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Затем мы попытались бы выйти из положения, сказав: „ф(ф) = φλ{φ)"'. Но зачем нам так себя обманывать? Ведь здесь действи-

тельно два противоположных пути ведут к одному и тому же. Или же: столь же естественно в этом случае сказать ,,~ф(ф)", как н^ф(ф)".

Сказать, что С расположено справа от пункта А и что оно расположено слева, одинаково правомерно в соответствии с определенным правилом,

которое гласит, что некое место расположено в направлении, указанном стрелкой, если к нему ведет дорога, начинающаяся в этом направлении.

Рассмотрим это с точки зрения языковых игр. — Первоначально мы играли в игру только с прямыми дорогами.

80. Можно ли, например, представить себе, что если я вижу чтото голубое, то это означает, что предмет, который я вижу, не голубой — что видимый мною цвет всегда расценивается как тот, который исключен? Я мог бы, скажем, допустить, что Бог всегда показывает мне какой-то цвет лишь для того, чтобы сказать: не этот.

Или же происходит так: цвет, который я вижу, говорит мне только о том, что этот цвет играет некую роль в описании предмета. Он соответствует не предложению, а просто слову <<голубой». И описание предмета может, таким образом, с равным успехом означать: «он голубой» и «он не голубой». Тогда говорят: глаз показывает мне только голубизну, а не ее роль. — Мы сопоставляем зрительное восприятие цвета со слуховым восприятием слова «го-

110

И, 1939-1940

лубой», если не слышим в предложении остального.

Я хотел бы показать, что человека можно подвести к тому, чтобы ситуацию: нечто является голубым, — он пытался описать с помощью слов «оно голубое», и «оно не голубое».

Что, стало быть, в наших силах так изменить метод проецирования, что „ р " и „~р" приобретают одинаковый смысл. Но это утрачивается, если не ввести чего-либо нового в качестве отрицания. При этом языковая игра может из-за противоречия утратить свой смысл, характер языковой игры.

И здесь важно сказать, что этот характер очерчивается не тем, что говорится: звуки должны производить известное воздействие. Ибо языковая игра (2) * лишилась бы характера языковой игры, если бы вместо 4 приказаний строители издавали все новые и новые звуки и даже если было бы можно доказать с точки зрения физиологии, что каждый раз именно эти звуки заставляют помощника приносить те строительные камни, которые он приносит. Здесь также можно было бы сказать, что языковые игры важно, конечно, рассматривать и потому, что они постоянно продолжают функционировать. То есть важность их рассмотрения определяется тем, что люди могут быть приучены к такой реакции на звуки. С этим, как мне кажется, связан вопрос о том, является ли вычисление экспериментом, имеющим целью предсказать ход вычислений. Что если кто-то выполнил вычисление и — правильно — предсказал, что в следующий раз будет вычислять иначе, ибо обстоятельства в следующий раз изменятся хотя бы потому, что таким способом вычисление произведено уже много раз?

Вычисление — это феномен, который мы узнаем из вычисления. Так же как язык — это феномен, который мы знаем из нашего языка.

Можно ли сказать: «Противоречие безвредно, если его можно изолировать»? А что мешает нам изолировать его? То, что мы как следует не ориентируемся в исчислении. Стало быть, в этом и заключен вред. И это как раз имеется в виду, когда говорят: противоречие показывает, что в нашем исчислении что-то не в порядке. Оно есть просто локальный симптом болезни всего тела. Но тело больно только тогда, когда мы не ориентируемся.

Исчисление несет в себе скрытую болезнь, а это значит: то, что мы имеем, и в том виде, в каком оно имеется, не исчисление, и мы не ориентируемся, то есть не можем провести никакого ис-

111

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

числения, которое бы «в сущности» соответствовало этому подобию исчисления и лишь исключало из него все непригодное.

Но как возможно не ориентироваться в некотором исчислении; разве оно не открыто нам?

Допустим мы усвоили исчисление у ФРЕГЕ вместе с его противоречием. Но так, что это противоречие не представляется чем-то болезненным. Оно, скорее уж, являет собой признанную часть исчисления, с его помощью вычисляют. (Вычисления не служат обычной цели логических исчислений.) — Так вот, ставится задача заменить это исчисление, вполне респектабельной частью которого является противоречие, другим, в котором не должно быть этого противоречия, ибо исчисление хотят использовать в целях, сделать противоречие нежелательным. — Что это за задача? И какого рода неспособность имеется в виду, если говорят: «Мы еще не нашли исчисления, удовлетворяющего этому условию»?

Говоря: «Я не ориентируюсь в исчислении», — я имею в виду не состояние души, а неспособность что-либо сделать.

Часто для прояснения какой-то философской проблемы бывает полезно представить себе историческое развитие, например в математике, совершенно иным, чем оно было в действительности. Если бы оно было иным, то никому бы не пришло в голову говорить то, что говорят в действительности.

Я бы поставил вопрос, например, так: «Стремишься ли ты в своем исчислении к пользе? — Тогда у тебя не возникнет и противоречия. А если ты не стремишься к пользе, то в конце концов неважно, если даже противоречие и получится».

81. Наша задача заключается не в поисках исчислений, а в том, чтобы описать нынешнее состояние дел.

Идея предиката, истинного относительно себя самого и т. д., опирается, конечно, на примеры, — но ведь эти примеры были глупостями, они же вовсе не были придуманы. Но это не говорит о том, что такие предикаты нельзя было бы использовать, а противоречие не имело бы применения!

Я имею в виду следующее: если внимание действительно направлено на использование, то не придет в голову написать ,/(/)". С другой стороны, если знаки в исчислении употребляют, так сказать, без каких-либо предпосылок, то можно написать и ,/(/)", а потом нужно сделать выводы, и нельзя забывать, что еще нет никакого представления о возможном практическом использовании этого исчисления.

112

Π, 1939-1940

Сводится ли вопрос к тому: «Где мы покидаем область применимости?» — Ибо разве невозможно хотеть породить противоречие? Чтобы

мы с гордостью за наше математическое открытие сказали бы: «Смотри, вот FEK мы производим противоречие». Разве невозможно, чтобы множество людей стремились, например, произвести противоречие в области логики и чтобы в конце концов кому-то это бы удавалось?

Но почему же люди должны пытаться сделать именно это? — Ну, я, пожалуй, не смогу здесь предположить какую-то убедительную цель. А почему бы, например, не с целью показать, что в этом мире все неопределенно?

Эти люди, правда, никогда не стали бы на самом деле использовать выражения типа ,/(/)", но они были бы рады жить в соседстве с противоречием.

«Усматриваю ли я некий порядок, мешающий мне неожиданно прийти к противоречию?» Это все равно что сказать: покажи мне в моем исчислении порядок, который убедит меня, что я таким способом ни разу не приду к числу, которое... Я приведу ему тогда, например, рекурсивное доказательство.

Но разве неправильно сказать: «Что ж, я пойду своим путем дальше. Увижу противоречие, тогда и нужно будет с этим что-то предпринять»? — Значит ли это: в действительности не заниматься математикой? Почему это не должно быть вычислением? Я спокойно пойду этим путем дальше; если мне придется наткнуться на пропасть, я попытаюсь ее обойти. Разве это не значит «идти»?

Представим себе такоий случай: люди некоего племени могут считать только устно. Они еще не знают письменности. Они учат своих детей считать в десятичной системе. В их счете часто встречаются ошибки, цифры повторяются или упускаются, а они этого не замечают. Вот какой-то путешественник записывает фонограмму их счета. Он учит их письменности и письменному вычислению и затем показывает им, как часто они ошибались при устном счете. — Должны ли теперь эти люди признать, что прежде они, собственно, и не производили вычислений? Что они только топтались на месте, а теперь идут? А разве они не могли бы сказать: раньше наши дела шли лучше, наша интуиция не была отягощена мертвой буквой? Невозможно постигнуть дух с помощью машин. Возможно, они говорят: «Если тогда мы, как утверждает твоя машина, повторяли какую-то цифру, то, значит, так и надо было».

113

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Мы доверяем, например, «механическим» средствам вычисления или счета больше, чем нашей памяти. Почему? — Должно ли быть так? Я могу ошибиться в счете, машина, сконструированная нами так-то и так-то, не может. Должен ли я придерживаться такой точки зрения? — «Что же, опыт научил нас тому, что выполнение вычислений с помощью машины более надежно, чем с помощью памяти. Это научило нас тому, что наша жизнь пойдет более гладко, если мы будем производить вычисления с помощью машин». Но должна ли гладкость обязательно быть нашим идеалом (должно ли быть нашим идеалом все завернутое в целлофан)?

А разве я не мог бы доверять памяти и не доверять машине? И разве невозможно не доверять опыту, который «морочит мне голову» тем, что машина надежнее?' 82. Прежде я не был уверен, что среди типов умножения, соот-

ветствующих этому описанию, нет ни одного, который дает иной результат по сравнению с признанным. Но допустим, моя неуверенность такова, что появляется лишь в преддверии нормального типа вычислений; и предположим, мы сказали: она ничему не мешает, ибо если я вычисляю совсем уж необычным образом, то должен все это еще раз обмозговать. Разве это не было бы правильно? И все же я хочу спросить: должно ли доказательство непротиворечивости (или однозначности) непременно дать мне большую уверенность, чем та, что есть у меня и без того? А если я действительно пускаюсь на авантюры, разве я не могу пускаться на такие авантюры, в которых это доказательство больше не дает мне какой-либо уверенности?

Моя цель заключается в том, чтобы изменить установку по отношению к противоречию и к доказательству непротиворечивости. (А не в демонстрации того, что это доказательство показывает мне что-то незначительное. И как это могло бы быть\)

Если бы для меня было важно, например, порождать противоречия в эстетических целях, то я бы без долгого раздумья принял индуктивное доказательство непротиворечивости и сказал бы: безнадежно стремиться произвести противоречие в этом исчислении, доказательство показывает нам, что это не получится. (Доказательство в теории гармонии.)

83. Пожалуй, удачным можно считать такое выражение: «Это исчисление не ведает этого порядка (этого метода), а то исчисление ведает».

114

II, 1939-1940

А как быть, если говорят: «Исчисление, не знающее этого поряд •ка, собственно, не есть исчисление»?

(Канцелярия, не знающая этого порядка, собственно, не есть канцелярия.)

Беспорядка, смею утверждать, избегают в практических, а не в теоретических целях.

Порядок вводят потому, что без него не клеится дело, — или же его вводят, подобно обтекаемым формам детских колясок и ламп, поскольку он, к примеру, где-то в другом месте оправдал надежды и, таким образом, стал стилем или модой.

Злоупотребление идеей механического обеспечения безопасности в отношении противоречия. А как быть, если части механизма сплавятся друг с другом, сломаются или погнутся?

84. «Только доказательство непротиворечивости демонстрирует мне, что я могу доверять исчислению».

Что это за предложение: только в таком случае можно доверять исчислению...? А если ты доверяешь ему без такого доказательства? Какого типа ошибку ты совершил?

Я навожу порядок, я говорю: «Есть только эти возможности: ...» Это похоже на то, как если бы я определял возможные перестановки элементов А, JS, С: прежде чем появился бы порядок, у меня было бы лишь туманное представление об этом множестве. — Совершенно ли я теперь уверен, что ничего не пропустил? Порядок — это средство ничего не пропустить. Но не пропустить ка- кую-либо возможность в исчислении, или: не пропустить какуюлибо возможность в реальности? — А достоверно ли, что люди никогда не захотят вычислять иначе? Что они никогда не будут воспринимать наше исчисление так же, как мы — счет дикарей, числовой ряд которых доходит только до пяти? — Что мы никогда не захотим интерпретировать реальность иначе! Но это отнюдь не та уверенность, которую должен нам дать этот порядок. Должна быть обеспечена не вечная правильность исчисления, а Только, так сказать, временная,

«Но ты ведь имеешь в виду эти возможности! — Или же другие?» Порядок убеждает меня в том, что, имея эти 6 возможностей, я ничего не пропустил. Но убеждает ли од меня также в том, что ничто не сможет опровергнуть мое теперешнее понимание таких возможностей?

85, Можно ли представить себе, что возможность построения се-

115

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

миугольной конструкции вызывает те же самые опасения, что и структура противоречия, и что доказательство невозможности семиугольной конструкции имело бы столь же успокоительное воздействие, как и доказательство непротиворечивости?

Как получается, что мы вообще склонны (или близки к этому) в (3 — 3 ) х 2 = (3 — 3) χ 5 сократить (3 — 3)? Как получается, что этот шаг по правилам выглядит понятным, и как получается, что он потом все-таки оказывается неприменим?

Пытаясь описать эту ситуацию, необычайно легко ошибиться. (То есть ее очень трудно описать.) Описания, которые непосредственно приходят в голову, вводят нас в заблуждение — так, в этой области, устроен наш язык.

При этом всегда от описания соскальзывают к объяснению.

Это происходит или же выглядит примерно так: у нас есть исчисление, скажем, с помощью костяшек на счетах; заменим его исчислением с помощью письменных знаков. Это исчисление приблизит нас к такому расширению способа вычисления, к которому не подводило первое исчисление, — или, пожалуй, лучше сказать: второе исчисление стирает различие, которое в первом нельзя было не заметить. Ну, а если проведение этого различия было смыслом первого исчисления, а во втором это различие не проводится, то тем самым второе утратило способность быть эквивалентом первого. И теперь, по-видимому, могла бы возникнуть проблема: где мы отошли от первоначального исчисления, какие рубежи в новом соответствуют естественным границам старого?

У меня есть система правил вычисления, смоделированных по правилам некоего другого исчисления. Я взял его себе за образец. Однако вышел за его пределы. Это было даже преимуществом; тем не менее теперь новое исчисление в некоторых ситуациях (по крайней мере для старых целей) стало непригодным. Поэтому я пытаюсь его изменить, то есть заменить его несколько иным исчислением. Притом таким, которое обладает преимуществами нового, будучи лишено его недостатков. Но является ли это ясно определенной задачей?

Существует ли — можно также спросить — правильное логическое исчисление, только без противоречий?

Можно ли, например, сказать, что хотя «теория типов» РлссЕла и избегает противоречия, но исчисление РАССЕла все же не универсальное, а искусственно ограниченное, искаженное логическое исчисление? Можно ли сказать, что чистое, универсальное логи-

116