ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

здравом уме отвечаем на вопрос: «И да и нет». То же самое можно сказать о предложении „ ~~р ~р": потому что мы используем двойное отрицание как усиление отрицания, а не как его отмену.

19.Ты говоришь: «... следовательно, Ρ истинно и недоказуемо». Это, вероятно, означает: «Итак, Р». Пожалуй, я не возражаю, но

скакой целью ты записываешь данное «утверждение»? (Оно равносильно тому, как если бы кто-нибудь, опираясь на известные принципы, касающиеся природных форм и архитектурного стиля, вывел из них утверждение, что на горе Эверест, где никто не может жить, должно стоять небольшое шале в стиле барокко.) И как бы ты смог объяснить мне истинность утверждения, если сам не можешь использовать его для чего-нибудь иного, кроме как для этих маленьких фокусов?

20.Здесь надо вспомнить о том, что предложения логики сконструированы таким образом, что в качестве информации они не имеют никакого применения на практике. То есть можно даже сказать, что они вовсе и не предложения; и то, что их вообще записывают, требует своего оправдания. Ну, а если к этим «предложениям» добавить еще какую-либо структуру иного рода, похожую на предложение, то мы уже совсем утратим представление о том, какое применение, какой смысл должна иметь эта система комбинаций знаков, ибо простое звучание предложения из этих знаковых комбинаций еще не придает им какого-либо значения.

58

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1. Если кому-то на его просьбу: «Покажи мне число, отличное от всех этих» — в качестве ответа дается диагональная матрица, то почему бы ему не заявить: «Но я имел в виду совсем не это!»? То, что ты мне дал, есть некое правило последовательного получения чисел, отличающихся от всех прочих чисел в этой последовательности.

«А почему ты не хочешь назвать и это методом вычисления некоего числа?» — Но что здесь метод вычисления, а что — результат вычисления? Ты скажешь, что это одно и то же, поскольку имеет смысл говорить: число D больше, чем... и меньше, чем...; его можно возвести в квадрат и т. д. и т. д.

Не состоит ли вопрос, по сути, в следующем: для чего можно использовать это число? Правда, это звучит странно. — Но это как раз и означает: в какое математическое окружение оно включено? Таков здесь постоянный девиз: шире оглядись вокруг!

К результату вычисления, выраженному на языке слов, следует относиться с недоверием. Счет проясняет значение словесного выражения. Э т о — более тонкий инструмент для определения значения. Если ты хочешь знать, что значит словесное выражение, посмотри на расчет, не наоборот. Словесное выражение отбрасывает на расчет лишь матовый общий отсвет, расчет же проливает на словесное выражение яркий свет. (Словно бы ты хотел сравнить высоту двух гор не путем измерения высот, а через их кажущееся соотношение, получающееся, когда смотришь на них снизу.)

2. Для чего можно использовать понятие «несчетное»?

Ведь тому, кто изо дня в день пытался бы «выстроить в один ряд все иррациональные числа», можно было бы сказать: «Оставь! Это лишено смысла; разве ты не видишь: стоит тебе только выстроить ряд, я предъявляю тебе диагональный ряд!» Это могло бы отвратить действующего таким образом от его затеи. Что ж, в этом была бы польза. И мне кажется, что к этому и сводилась бы подлинная цель данного метода. С помощью смутного понятия некоей картины данный метод останавливает этого, как бы по-идиотски, рьяно продолжающего свое дело человека. (Но с помощью другой картины можно было бы вновь подвигнуть такого человека на продолжение его предприятия.)

Данный способ кое-что показывает — весьма приблизительно это

59

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

можно назвать демонстрацией того, что эти методы расчета невозможно выстроить в один ряд. И значение слова эти здесь остается смутным.

Умный человек попался в эту языковую сеть! Значит, это, должно быть, интересная языковая сеть.

Ошибка начинается с того, что говорят: «Кардинальные числа могут быть сгруппированы в ряд». Но какое понятие мы имеем об этом упорядочении? Да, конечно, у нас есть понятие о бесконечном ряде, но здесь это дает нам в лучшем случае смутную идею, путеводную звезду для образования какого-то понятия. Само данное понятие абстрагировано от этого и некоторых других рядов; или: выражение обозначает некое подобие случаев, и его можно использовать, например, для того, чтобы заранее отграничить область, о которой хотят говорить.

Но это не говорит о том, будто вопрос «Можно ли сгруппировать в некий ряд множество Р1>> имеет ясный смысл. Ибо этот вопрос означает примерно следующее: можно ли сделать с этими образованиями что-либо, что соответствует систематизации кардинальных чисел в некий ряд? Итак, если спрашивают: «Можно ли расположить в ряд действительные числа?» — то корректным был бы такой ответ: «Я пока не в состоянии точно уразуметь это». — «Но ведь ты можешь, например, выстроить в ряд корни и алгебраические числа; значит, ты все-таки понимаешь это выражение!» — Правильнее говоря, я имею здесь дело с определенными похожими друг на друга образованиями, которые называю одним общим именем «ряд». Но у меня еще нет надежного мостика от этих случаев ко «всем действительным числам». И у меня нет также общего метода, позволяющего попробовать, «можно ли сгруппировать в ряд» такое-то множество.

Затем мне предлагают диагональную матрицу и говорят: «Вот тебе доказательство того, что эта систематизация здесь невыполнима». На это можно ответить: «Я, как уже говорилось, не знаю, что это такое — то, что здесь не получается». Хотя я могу понять: ты хочешь продемонстрировать разницу в использовании «корня», «алгебраического числа» и т. д., с одной стороны, и «действительного числа» — с другой. Притом делается это примерно так: «действительными числами» называются как корни, так и диагональное число, образованное из корней. И это имеет силу для всех рядов действительных чисел. Поэтому нет смысла говорить о некоем «ряде всех действительных чисел», ведь диагональ-

60

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ноет число ряда тоже называют «действительным числом». — — Разве это было бы не равносильно тому, что и каждый ряд книг обычно называли бы книгой и говорили: «Нет смысла толковать о „ряде всех книг", так как этот ряд сам является книгой».

3. Здесь очень полезно представить себе; будто задолго до разработки теории множеств диагональная процедура была известна, используема для получения того или иного действительного числа и доступна даже школьникам, как вполне и могло бы быть. Тем самым изменился, бы аспект открытия КАНТора. Его открытие вполне могло бы заключаться просто в интерпретации этого давно известного элементарного расчета.

Тип расчета сам по себе весьма полезен. Пусть задание будет таким: запишите десятичную дробь, отличную от чисел:

Ребенок подумает про себя: как мне это сделать, я ведь должен видеть одновременно все эти числа, чтобы избежать записи того или иного из них? Метод же говорит: вовсе нет; измени первую позицию первого числа, вторую второго и т. д. и т. д., и ты будешь уверен, что записал число, не совпадающее ни с одним из заданных. Число, полученное таким образом, всегда можно было бы назвать диагональным числом.

В формулировках: «Нельзя выстроить в ряд действительные числа» или же «Множество... несчетно», — опасно, обманчиво то, что некое определение, способ образования понятия, представлено э виде факта природы.

Предложение: «Если что-то называют рядом действительных чисел, то разложение по диагональному методу также именуют «действительным числом», и притом говорят, что оно отлично от всех членов ряда», —звучит скромно.

Доказательство, доказывающее больше, чем позволяют ему его средства, всегда должно вызывать у нас подозрение. Нечто в этом роде можно было бы назвать «хвастливым доказательством».

Обычное выражение стимулирует некий процесс, метод построения, который хотя и применим здесь, но не ведет к цели из-за

61

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

числа предметов, большего, чем даже число всех кардинальных чисел.

Если бы было сказано: «Размышление над диагональным методом демонстрирует, что понятие „действительное число" имеет гораздо меньшее сходство с понятием „кардинальное число", чем мы, соблазненные известными аналогиями, склонны полагать», — то это было бы здраво и верно. Но происходит как раз противоположное: «множество» действительных чисел сравнивается с «множеством» кардинальных чисел, как утверждают, по величине. Родовое различие двух понятий изображается — из-за неудачного выбора выражений — как различие протяженности.

4. Болезнь времени излечивается изменением в образе жизни людей, и болезнь философских проблем могла бы исцеляться только изменением образа мышления и жизни, а не лекарством, изобретенным кем-то одним.

Представь себе, что использование автомобиля вызывает и стимулирует определенные болезни и человечество мучается этими болезнями, пока по тем или иным причинам, вследствие какого-то развития, оно снова не отучится от езды на автомобиле.

5. Как же люди используют предложение: «Нет наибольшего кардинального числа»? Когда и по какому поводу это было бы сказано? Во всяком случае, это использование совершенно иное, чем применение математического суждения „25 х 25 = 625".

Прежде всего, следует заметить, что мы вообще ставим этот вопрос, значит, у нас под рукой нет готового ответа.

Кроме того, пытаясь быстро ответить на вопрос, легко поскользнуться. Так же как и при вопросе: какой опыт показывает нам, что наше пространство трехмерно?

Мы говорим о позволении, что оно нескончаемо [бессрочная лицензия] .

И можно добавить, что в языковые игры с кардинальными числами позволено играть без конца. Кому-то, кого мы, скажем, обучали бы нашему языку и языковым играм, это могло бы о чем-то сказать. Таким образом, это снова было бы грамматическое предложение, но совершенно иного рода, чем „25 χ 25 = 625". Оно имело бы, однако, большое значение, если бы ученик, например, был склонен (возможно, в силу того, что он воспитан в совсем другой культуре) ожидать какого-то определенного завершения этого ряда языковых игр.

62

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ΰ. Почему мы должны говорить: иррациональные числа не могут быть упорядочены? — У нас есть способ нарушать любой порядок. Диагональный метод Клитора не выявляет некое иррациональное число, отличное от всех других чисел в системе, а придает смысл математическому положению, гласящему, что такое-то число отлично от всех других чисел в определенной системе. КАНТОР мог бы сказать: то, что некое число отлично от всех других чисел в

КАНТОР ЧТО-ТО говорит о сложности понятия «действительное число, отличное от всех других чисел какой-либо системы».

КАНТОР показывает, что если мы имеем систему разложений, то имеет сМысл говорить о некоем разложении, отличном от всех других. — Но этим еще не определена грамматика слова «разложение».

КАНТОР придает некий смысл выражению «разложение, отличное от всех других разложений системы», предлагая так называть разложение в том случае, если можно доказать, что оно диагонально отлично от разложений в некоей системе.

Таким образом, дается задача: найди число, разложение которого диагонально отлично от разложений этой системы.

7. Можно было бы сказать: кроме рациональных точек на числовой оси находятся различные системы иррациональных точек. Нет системы иррациональных чисел, но нет и Сверх-Системы, нет «множества иррациональных чисел» с бесконечностью высшего порядка.

КАНТОР дает определение отличия высшего порядка, то есть отличия того или иного разложения от системы разложений. Можно использовать данное объяснение таким образом, чтобы показать, что некое число в этом смысле отлично от системы чисел: скажем, число к отлично от системы алгебраических чисел. Но неразумно говорить, что само правило изменения мест по диагонали — таким-то способом — оказывается отличным от правил этой системы, поскольку оно само является правилом «высшего порядка»; ибо повествует об изменении некой системы правил, а потому заранее неясно, в каких случаях мы захотим объявить разложение вот такого правила отличным от всех разложений системы.

8. <<Эти размышления могут привести нас к высказыванию:

2К0 Ж0 ».

63

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

То есть: мы можем направить эти размышления так, что они приведут нас к этому.

Или: мы можем это сказать и привести это как основание.

Но если мы это и скажем — что же делать с этим дальше? В какой практике «закреплено это предложение? Пока оно представляет собой Элемент математической архитектуры, который висит в воздухе и выглядит так, словно бы был, скажем, архитравом, но лишенным опоры и ничего не поддерживающим.

Определенные размышления могут привести нас к тому, чтобы сказать, что 101 0 душ располагаются в 1 см3. Но почему же мы всетаки не говорим этого? Потому что в этом нет никакого проку. Потому что данное высказывание хотя и вызывает какой-то образ в нашем сознании, но такой, с которьш нам дальше нечего делать.

Суждение весомо постольку, поскольку весомы его основания. Оно несет столько, сколько несут его основания, которые его подкрепляют.

9. Интересный вопрос: какова взаимосвязь Но с кардинальными числами, числом которых оно должно быть? К0 было бы, очевидно, предикатом ^бесконечный ряд» в его применении к ряду кардинальных чисел и к сходным математическим образованиям. Здесь важно уловить соотношение ряда в не математическом смысле и ряда в математическом смысле. Конечно, ясно, что в математике мы употребляем слово «числовой ряд» не в смысле «ряд числовых знаков», хотя, разумеется, существует и взаимосвязь между употреблением одного и другого выражений. Железная дорога— это не железнодорожный поезд; не является она и чем-то, похожим на железнодорожный поезд. Для рядов языковых выражений ряд в математическом смысле — это метод построения.

Таким образом, мы имеем грамматический класс «бесконечная последовательность» и эквивалентное данному выражению слово, грамматика которого сходна (в известном смысле) с грамматикой числительного: «бесконечный» или «Ко». Это связано с тем, что в исчислениях математики имеется техника, которую с известным правом можно назвать «корреляцией 1—1 между членами двух бесконечных последовательностей», так как она имеет сходство с подобным взаимным соотнесением членов так называемых «конечных» классов.

Однако из того, что у нас есть то или иное применение для некоего типа числительного, словно бы задающего число членов того

64

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 2

или иного бесконечного ряда, не следует, что уместно также говорить о числе применительно к понятию «бесконечного ряда», как будто тут мы располагаем неким применением чего-то, сходного с числительным. И нет никакой грамматической техники применения такого выражения. Ибо я, конечно, могу составить выражение: «Класс всех классов, которые имеют числовое равенство с классом „бесконечная последовательность"», так же как и выражение: «Класс всех ангелов, которые помещаются на острие иглы», но это выражение пусто, пока для него нет применения. Такое применение — не то, что должно быть еще открыто, а то, что сначала должно быть изобретено.

Представь себе, что я положил перед тобой игровую доску, разделенную на поля, поставил на нее похожие на шахматные фщуры предметы и объявил: «Эта фигура — „король", это — „слоны", это — „пешки". — Больше мы об игре еще ничего не знаем; но это уже кое-что. — А большее еще, вероятно, будет открыто».

10. «Нельзя упорядочить дроби в соответствии с их величиной». — Это звучит в высшей степени любопытно и странно.

Это представляет интерес в совершенно ином смысле, чем, например, предложение из дифференциального исчисления. Отличие, я полагаю, состоит в том, что такое предложение легко ассоциируется с использованием его в физике, в то время как приведенное предложение принадлежит всецело и исключительно математике, кажется относящимся как бы к естественной истории математических предметов.

О таком предложении можно было бы сказать: оно вводит нас в тайны математического мира. Это тот аспект, относительно которого я хочу предостеречь.

Если кажется..., то следует быть осмотрительным.

11. Если, вникая в положение, что дроби не могут быть выстроены в ряд в соответствии с их величиной, я представлю себе образ бесконечного ряда вещей и между каждой вещью и соседней с ней просматриваются новые вещи, и опять между соседствующими вещами проглядывают еще новые и так далее без конца, то, конечно, получится нечто такое, от чего может закружиться голова.

Если же мы поймем, что этот образ, хотя и очень впечатляющий, все же неточен, что не следует попадаться в ловушку слов «ряд», «выстроить», «существовать» и других, то мы вернемся к технике вычисления дробей, в которой теперь уже не будет ничего странного.

65

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

То, что в технике вычисления дробей выражение «наиближайшая по величине дробь» не имеет смысла, что мы не придали данному выражению никакого смысла, — это вовсе не удивительно.

Если мы применяем технику беспрерывного интерполирования дробей, то у нас не появится желания назвать какую-либо дробь «наиближайшей по величине».

12. Если о какой-то технике говорят, что она неограниченна, это означает не то, что она все продолжается, никогда не приходя к концу — наращивая нечто неизмеримое, но то, что у нее отсутствует институт конца, что она не закрыта. Так же как о предложении можно сказать, что оно не окончено, если нет точки в конце. Или же об игровом поле — что оно неограниченно, если правила игры не предписывают ограничений, например с помощью линии.

Новая техника исчисления как раз и должна дать нам новую картину, новый способ выражения; и нельзя сделать ничего более абсурдного, чем пытаться описать эту новую схему, этот новый тип каркаса с помощью старых выражений.

13. Какова функция такого предложения, как: «Для дроби нет некоей дроби, следующей за ней и сколь угодно близкой к ней по величине, а для кардинального числа следующее за ним, наиближайшее к нему по величине кардинальное число есть»? Ну, это как бы аналогично предложению, в котором сравниваются две игры. (Как, например в игре в шашки перешагивают через фигуру, а в шахматах — нет.)

Фраза: «Построить следующее наиближайшее по величине число» — означает нечто, тогда как фраза: «Построить следующую, сколь угодно близкую по величине дробь» — не означает ничего.

14. Как сравнивают игры? Описывая их — описывая одну как вариант другой, описывая и акцентируя их различия и подобия. «В шашках нет короля» — о чем говорит данное высказывание? (Это звучит по-детски.) Означает ли оно лишь то, что никакая фигура не называется «королем»; а если бы мы дали одной из фигур такое название, то тогда в шашках был бы король? А как быть с таким предложением: «В шашках все фигуры равноправны, а в шахматах — нет»? Кому я могу это сообщить? Тому, кто уже знает обе игры, или же тому, кто их еще не знает. Тогда оказывается, что первый не нуждается в нашем сообщении, а второму оно ни к чему. А что, если бы я сказал: «Посмотри! В шашках все фигуры равноправны...»? Или еще лучше: «Посмотри! В этих

66