Vitgenshteyn_L_-_Filosofskie_raboty_Chast_II_pdf

И, 1939-1940

тельства не влечет за собой с необходимостью какое-либо признание. Если же мы однажды начали с признания, то оно не обязательно должно быть «геометрическим».

Доказательство могло бы состоять всего лишь из двух ступеней, например из выражения „(х)- fx" и выражения ,jä" — играет ли верный переход по некоему правилу здесь существенную роль?

39. Что же в доказанном является непоколебимо верным? Признать то или иное предложение незыблемо верным — хочу я сказать — значит использовать его в качестве грамматического правила: тем самым из него устраняется неопределенность. «Доказательство должно быть обозримым» означает, собственно, не что иное как: доказательство не эксперимент. То, что вытекает из доказательства, мы принимаем не потому, что так однажды получилось, или потому, что так часто получается. В доказательстве мы видим основание для утверждения: так должно было получиться. К данному результату приводит, доказывает его не сама эта зависимость, — мы убеждаемся в этом и принимаем эти конфигурации (картины) за образцы того, что получается, если ...

Доказательство является нашим новым образцом того, что получается, если ничего не прибавляется и не убавляется, если мы правильно считаем и т. д. Но эти слова показывают, что я толком не знаю, образцом чего является доказательство.

Я хочу сказать: посредством логики Pnncipia Mathematica можно обосновать арифметику, в которой 1000 + 1 = 1000; а все, что для этого нужно, ставило бы под сомнение очевидную правильность расчетов. Если же мы их не подвергаем сомнению, то причина этого кроется отнюдь не в нашей убежденности в том, что логика истинна.

Если в ходе доказательства мы говорим: «Это должно получиться» то определяют это не основания, которые нам не видны.

Нас заставляет принять данный результат не то, что мы его получили, а то, что он конец этого пути.

Это и служит доказательством — то, что нас убеждает: конфигурация, нас не убеждающая, не является доказательством даже в том случае, если она способна пояснять доказанное высказывание в качестве примера.

Это значит: для демонстрации того, что доказано, не может потребоваться физическое исследование конфигурации доказательства. 40. Увидев на картине изображение двух людей, мы не говорим

II, 1939-1940

зательство меняется, — в своей глубинной основе оставаясь тем же самым, и тогда говорят, что оно неизменно, каким бы ни было внешнее впечатление.

Разве, по сути, ты не говоришь лишь то, что доказательство бе-

рется в качестве доказательства?

Доказательство должно быть наглядным процессом. Или также: доказательство является наглядным процессом.

Доказательство доказывает не нечто, скрытое за доказательством, но само доказательство.

43. Если я говорю: «Прежде всего должно быть очевидно, что эта подстановка действительно дает в результате это выражение», — то я мог бы также сказать: «Я должен принять это как бесспорное утверждение», — но тогда для этого должны быть веские основания, например то, что одна и та же подстановка неизменно дает один и тот же результат и т. д. Так не заключается ли наглядность именно в этом?

Я хочу сказать: там, где нет наглядности и, значит, уместно усомниться в том, что результат действительно получен вследствие этой подстановки, — там доказательство разрушено. И вовсе не каким-то глупым и несерьезным способом, не имеющим отношения к природе доказательства.

Или: логика не служит основой всей математики уже потому, что сила логического доказательства заключена в силе геометрического доказательства и разрушается вместе с ней *.

Это значит: логическое доказательство, например РАССЕЛОВСКОГО типа, имеет силу до тех пор? пока оно обладает также геометрической силой убеждения *, и сокращение такого логического доказательства может обладать такой силой и оставаться благодаря этому доказательством, в то время как полностью выполненная РАССЕЛовская конструкция таковым не является.

Мы склонны верить в то, что логическое доказательство обладает своей собственной абсолютной доказательностью, проистекающей из безусловной надежности основных логических законов и правил логического вывода. Хотя все же доказанные таким образом суждения не могут быть достовернее, чем правильность применения этих законов вывода.

89

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

уточнить, что должно считаться верным воспроизведением доказа-

изведением этого знака только «численно равная» группа черточек (или, скажем, крестиков) или же годится и какое-то другое, не слишком малое число. И т. д.

Однако возникает вопрос, что должно считаться критерием воспроизведения доказательства — критерием тождества доказательств. Как их надо сравнивать для установления тождества? Являются ли они тождественными, если одинаково выглядят?

Мне хотелось бы, так сказать, продемонстрировать, что в математике можно избежать логических доказательств.

45. «Посредством соответствующих дефиниций мы можем в логике РАССЕла доказать, что „25 χ 25 = 625"». — А можно ли определить обычную технику доказательства при помощи РАССЕЛОВской? Но как можно определить одну технику доказательства через какую-то другую? Как может одна из них объяснить суть другой? Ведь если одна является «сокращением» другой, то она должна быть систематическим сокращением. Вместе с тем требуется подтверждение того, что можно систематически сокращать длинные доказательства и таким образом получать новую систему доказательств.

Длинные доказательства сначала всегда сопровождают короткие, как бы опекая их. Но наконец наступает момент, когда они уже не могут более сопутствовать коротким и те проявляют свою самостоятельность.

Рассмотрение длинных, недоступных обозрению логических доказательств— это лишь средство показать, как эта техника — покоящаяся на геометрии доказательства — может утратить силу, а новая техника — стать необходимой.

46. Готов утверждать: математика — это ПЕСТРАЯ смесь техник доказательства. — И на этом основывается возможность ее многообразного применения и ее значимость.

А это ведь равноценно утверждению: владея системой исчисления, подобной РАССЕЛОВСКОЙ, и создавая на ее основе с помощью соответствующих дефиниций системы, подобные дифференциальному исчислению, вы бы изобретали новый раздел математики, Но можно было бы просто сказать: придумай человек десятичную

90

И, 1939-1940

систему счета — это было бы некое математическое изобретение! — Даже если бы он уже располагал Principia Mathematica РлссЕла. — Каким образом приводятся в соответствие две системы доказательств? Устанавливают правило перевода, посредством которого выражения, доказанные в одной системе, можно перевести в выражения, доказанные в другой системе.

Ведь возможно представить себе, что некоторые — или все — системы доказательств сегодняшней математики скоординированы таким образом с одной системой, например системой РлссЕла. Так что все доказательства, хотя и более дотошным способом, были выполнимы в этой системе. Значит ли это, что тогда существовала бы только одна система, а не много систем? — Но тогда должна существовать возможность показать в рамках этой одной системы, что она может быть преобразована во множество других систем. — Одна часть системы будет обладать особенностями тригонометрии, другая — алгебры и т. д. Таким образом, можно сказать, что в этих частях используются различные техники.

Я говорил: тот, кто изобрел счет в десятичной системе, сделал математическое открытие. А не мог ли он сделать это открытие всецело в РАССЕЛОВСКИХ символах? Тогда он открыл бы, так сказать,

новый аспект.

«Но тогда истинность истинных математических суждений была бы доказуема, исходя из этих общих оснований». — Мне кажется, в этом-то и загвоздка. Когда мы говорим, что математическое суждение истинно? — Мне кажется, что мы вводим, сами того не ведая, новые понятия

в логику РлссЕла. Например, когда устанавливаем, какие знаки формы „(5 х, у, ζ,..)" должны считаться эквивалентными друг другу, а какие неэквивалентными.

их помощью несколько тавтологий, а затем развертываю, напри-

мали о возможности такого вот упорядочивания, а теперь ввели в

наше исчисление новое понятие. В этом и состоит «новый аспект». Ясно ведь, что я мог бы здесь ввести понятие числа, хотя бы и очень примитивным и ограниченным способом, но этот пример показывает все, что мне нужно.

91

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

Насколько верно было бы утверждать, что с помощью ряда ~р, ~~р, ~~~р и т. д. в логику вводилось бы некое новое понятие? — Так вот, прежде всего можно сказать, что это сделано с помощью «и т. д.». Ибо это «и т. д.» символизирует новый для меня закон образования знаков. Характерным признаком этого служит то, что для объяснения десятичной записи необходимо рекурсивное определение.

Новая техника вводится.

Можно сказать и так: иметь понятие о РАССЕЛОВСКОМ построении доказательств и предложений еще не значит иметь понятие о любом ряде РАССЕЛОВСКИХ знаков.

Я бы сказал: РАССЕЛовское обоснование математики как бы запаздывает с введением новых техник — до тех пор пока наконец, не сочтут, что они уже больше вовсе не* нужны.

(Пожалуй, это похоже на то, как если бы я столь долго философствовал о понятии измерения длины, что забыл о необходимости реально установить для такого измерения ту или иную единицу длины.)

47. А можно ли то, что я хочу сказать, выразить так: «Если бы мы с самого начала выучились всей математике в системе РАССЕ ла, то с помощью РАССЕЛОВСКОЙ техники, например, дифференциальное исчисление еще, конечно, не было бы изобретено. Стало быть, тот, кто открыл бы этот тип расчета в расселовском исчислении >>?

Предположим, передо мной рлссЕловские доказательства предложений

„Р = ~~р"

и вот я нахожу сокращенный способ доказать предложение

„Р = ~1 О Р".

Это равнозначно тому, как если бы я нашел некий новый тип расчета в рамках прежнего исчисления. В чем же состоит эта находка?

Скажи мне: открыл ли я некий новый тип вычисления, если при обучении умножению мое внимание привлек лишь такой особый подвид этих вычислений, как умножение с одинаковыми сомножителями, а потому я ввел запись „а« = ...?"

Очевидно, что использование одной только «сокращенной» записи

92

II, 1939-1940

или какой-либо иной записи — „ I 6 2 " вместо „16 χ 16" — еще не дает ничего нового. Важно то, что мы теперь эти сомножители

тат, — доказательство должно показывать, что число используется в качестве сомножителя 15 раз.

Если я спрашиваю: «Что же нового в «новом способе исчисления», называемом возведением в степень», то ответить на этот вопрос очень трудно. Слово «новый аспект» неопределенно. Оно означает, что мы теперь смотрим на дело несколько иначе, — но вопрос в том, каково существенное, важное проявление этого «иного видения».

Прежде всего я хочу сказать: «Вовсе не обязательно, чтобы бросалось в глаза, что в определенных случаях все сомножители равны» — или: «Произведение одинаковых сомножителей есть новое понятие» — или: «Новое заключается в том, что мы по-друго- му производим расчеты». При возведении в степень явно существенно то, что учитывается число сомножителей. Однако это не означает, что мы каждый раз обращаем внимание на это число. Нам не должно бросаться в глаза, что имеются произведения с 2, 3, 4 и т. д. сомножителями, хотя мы часто получаем такие результаты. Новый аспект — но снова встает вопрос: что является его существенной стороной? Для чего я использую то, на что обратил внимание? Пожалуй, прежде всего это выражается в записи. Я пишу, например, „ а 2 " вместо „ах а". Тем самым я адресуюсь к числовому ряду (отсылаю к нему), чего раньше не происходило. Так я устанавливаю здесь новую связь! — Связь — между чем и чем? Между техникой подсчета сомножителей и техникой умножения.

Таким образом каждое доказательство, каждое отдельное исчисление дает новые связи,

Но одно и то же доказательство показывает, что αχ αχ αχ α ... =Ъ, и вместе с тем что ап = Ъ; нужно лишь осуществить переход согласно определению „а"".

Так именно этот переход и является новым. Если же это лишь переход к старому доказательству, то как он может быть важным? «Это только иной способ записи». Когда же он перестает быть только другим способом записи?

93

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

HQ В ТОМ ЛИ случае, когда годится лишь один способ записи, а никакой другой не может быть использован таким образом?

Если кто-то вместо ,/(&)" напишет „ ( а ) / ' — это можно назвать «открытием нового аспекта»; можно сказать: «Он рассматривает функцию как аргумент ее аргумента». Или если кто-то вместо „ а х а" запишет „ χ (α)", можно сказать: «То, что раньше рассматривали как особый случай функции с двумя аргументами, он рассматривает как функцию с одним аргументом».

Тот, кто делает так, конечно же, в некотором смысле изменяет аспект, он, например, соединил это выражение с другими, сопоставил с теми, с которыми раньше не сравнивал. — Но является ли в данном случае это важным изменением аспекта? Нет, до тех пор пока не будут сделаны определенные выводы.

Верно, введя понятие числа отрицаний, я изменил аспект логического исчисления. «Так я его еще не рассматривал», — можно было бы сказать. Но важным это изменение становится только тогда, когда оно захватывает применение знака.

Осмысление фута как 12 дюймов, конечно, означало бы изменение аспекта «фута», но важным это изменение стало бы лишь в том случае, если бы и длина теперь измерялась в дюймах.

Тот, кто вводит подсчет знаков отрицания, вводит новый способ воспроизведения знаков.

Правда, для арифметики, толкующей о равенстве чисел, совершенно безразлично, как устанавливается числовое равенство двух классов, но для ее выводов не безразлично, как сопоставляются друг с другом соответствующие знаки, каким способом, например, устанавливается, одинаково ли число цифр в двух числовых знаках. Не введение числовых знаков в виде сокращений, а метод счета, — вот что важно.

48.Я хотел бы объяснить неоднородность математики.

49.«Я могу доказать и в РАССЕЛОВСКОЙ системе, что 127 : 18 = 7,05». Почему бы и нет. — Но должен ли при доказательстве РлссЕла получаться тот же результат, что и при обычном делении? Оба они, конечно, связаны друг с другом посредством счета (скажем, правилами перевода); но не попытка ли это осуществлять деление посредством новой техники — поскольку истинность результата зависит тут от геометрии переложения?

Аположим, кто-нибудь скажет: «Ерунда — такие рассуждения не имеют никакого значения для математики»,

94

И, 1939-1940

—Но дело здесь не в неуверенности, ибо мы совершенно уверены

всвоих выводах, а в том, пользуемся ли мы все еще логикой (РлссЕла), скажем, производя деление.

50. Изначальная значимость тригонометрии заключается в ее связи с измерениями длин и углов: она является разделом математики, ориентированным на измерение длин и углов.

Применимость в этой области также можно назвать «аспектом» тригонометрии.

Допустим, я делю круг на равные сектора и определяю косинус одного из них путем измерения — расчет это или эксперимент? Если это расчет — является ли он НАГЛЯДНЫМ?

Нагляден ли расчет при помощи логарифмической линейки?

Если нужно определить косинус угла путем измерений, будет ли тогда предложение формы „cos α = η " математическим предложением? Что тут служит критерием решения? Говорит ли это предложение о чем-то внешнем — действиях с линейками и т. п., или же о чем-то внутреннем — связанном с нашими понятиями?

Относятся ли фигуры (рисунки) в тригонометрии к чистой математике или они являются только примерами возможного применения'?

51. Если в том, что я намерен сказать, есть нечто истинное, то, например, счет в десятичной записи должен обладать своей собственной жизнью. — Конечно же, каждое десятичное число можно представить в форме:

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I !I

I I I I I I I I I I I I I I I I I I

и, исходя из этого, выполнять в этой записи четыре вида вычислений. Но жизнь десятичной системы должна быть независимой от счета при помощи единиц-черточек.

52. В связи с этим мне все время приходит на ум следующее: хотя в логике РлссЕла можно доказать выражение „а : Ь = с", но она не научит нас строить правильное выражение этой формы, то есть она не научит нас делить. Процесс деления соответствовал бы, например, некой систематической проверке доказательства РлссЕла, скажем с целью получить доказательство предложения типа „37 χ 15 = х". «Но техника такой систематической проверки основывается в свою очередь на логике. Можно опять же логически доказать, что эта техника должна привести к цели». Значит, это

95

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

сходно с тем, как доказывалось бы в Евклидовой системе, что то или иное построение можно осуществить этим или иным способом. 53. Что старается показать тот, кто стремится показать, что математика — это не логика? Он ведь хочет сказать нечто в этом роде: — если завернуть столы, стулья, шкафы и т. д. в достаточное количество бумаги, они в конце концов будут выглядеть как шарообразные.

Он не стремится показать, что для каждого математического доказательства невозможно строить «соответствующее» ему (какимто образом) доказательство РАССЕЛИ, ОНхочет показать другое — то, что признание такого соответствия основывается не на логике. «Но мы ведь всегда можем вернугься к простым логическим методам!» Ну, а если признать, что Mbi это можем сделать, то как же получается тогда, что мы не дожисны этого делать? Или мы слишком поспешно, неосмотрительно уходим от этого дела?

Но как мы возвращаемся к простому выражению? Избираем ли мы, например, путь вторичного доказательства и, дойдя до конца, возвращаемся назад к первичной системе, чтобы осмыслить, куда мы попали; или же движемся в двух системах и в конце пути соединяем конечные пункты? А откуда мы узнаем, что в первичной системе в обоих случаях получим один и тот же результат?

А разве продвижение во вторичной системе не заключает в себе силу убеждения?

«Но мы можем, совершая каждый шаг во вторичной системе, думать, что он мог бы быть совершен и в первичной системе!» Дело именно в этом: можно представить себе, что он мог бы быть совершен, — не совершая его«

И почему мы принимаем одно вместо другого? На основе логики! «А разве нельзя логически доказать, что оба преобразования должны привести к одинаковому результату?» — Но ведь здесь речь идет о результате преобразований знаков! Как может решить этот вопрос логика?

54. Как может доказательство в системе черточек доказать, что доказательство в десятичной системе является доказательством? Ну, а разве с доказательством в десятичной системе дело обстоит не так же^ как с построением в Евклидовой системе, относительно которого доказано, что оно действительно является построением определенной фигуры?

Можно ли сказать так: «Перевод системы черточек в десятичную

96