Ι, 1937-1938

140. Что происходит, когда кто-то пытается совместить некоторую форму с ее зеркальным отражением, перемещая ее в плоскости, а это ему не удается? Он накладывает их различным образом друг на друга, смотрит на части, которые не совпадают, и, неудовлетворенный, возможно, говорит: «Но это должно удасться», — затем вновь накладывает фигуры друг на друга.

Что происходит, когда кто-то пытается поднять тяжесть и это ему не удается, потому что вес слишком большой? Он принимает ту или иную позу, хватается за тяжесть, напрягает определенные мускулы и отказывается от своей попытки, возможно выказывая какие-то признаки неудовольствия.

В чем обнаруживается геометрическая, логическая невозможность решения первой задачи?

«Во втором случае действующий все-таки может показать на ка- кой-то модели или другим образом, как выглядит то, к чему он стремится». — Но он утверждает, что может это сделать и в первом случае, накладывая две подобные конгруэнтные фигуры друг на друга так, чтобы они совпадали. — Что тут следует сказать? Что эти два случая различны? Но различны также образ и действительность во втором случае.

141.Собственно, мы предлагаем здесь замечания о естественной истории человека: не сообщения о курьезных случаях, а констатации фактов, в которых никто не усомнился и которые ускользают от внимания лишь потому, что постоянно происходят у нас на глазах.

142.Мы учим кого-то методу деления орехов между людьми, одна часть этого метода — умножение двух чисел в десятичной системе. Мы учим кого-то строить дом, при этом обучая его и тому, как обеспечить достаточное количество материалов, например досок, а для этого знакомим его с техникой счета. Техника счета — часть техники строительства дома.

Люди складывают и продают бревна; штабеля замеряются метром, показатели длины, ширины и высоты умножаются, а результат умножения и есть то количество денег, которое запрашивают и платят за бревна. Люди не знают, «почему» случается так, они просто ведут себя таким образом: так это делается. — Разве эти люди не считают?

143. Когда считаешь таким образом, надо ли высказывать какоето «арифметическое предложение»? Конечно, мы учим детей таблице умножения в форме кратких положений, но существенно ли

47

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

это? Почему бы им просто не научиться считать? А если они это умеют, то разве они в таком случае не выучили арифметику?

144.А в каком отношении находится тогда обоснование процесса счета к самому счету?

145.«Да, я понимаю, что это предложение следует из этого». — Понимаю ли я, почему оно следует, или же только что оно сле-

146.Предположим, я сказал: покупатели платят за бревна на основе вычисления; они принимают вычисление за доказательство того, что должны платить столько-то. — Но это же просто описание их действий (их поведения).

147.Продавцы бревен, сказали бы мы, продают их в кубических

метрах но правы ли· они, доступая так? Разве не было бы более правильным продавать их на вес, или по времени, затраченному на рубку леса, или по труду лесорубов, замеряемому по их возрасту и силе? А почему бы не назначить цену, независимую от всего этого: каждый покупатель отсчитывает одну и ту же сумму, безотносительно к тому, сколько бревен он берет (скажем, люди решили, что можно жить и так). И есть ли какие-нибудь возражения против отдачи леса даром?

148.Хорошо; а что, если бревна сложены в штабеля произвольной, различной высоты, а затем продаются по цене, пропорциональной площади, занимаемой штабелями?

Икак быть, если такая процедура продажи обосновывается словами: «Но ведь тот, кто покупает больше дерева, должен и платить больше»?

149.Как показать этим людям, что на самом деле — выражусь так — не тот покупает больше дерева, кто покупает штабель, размещенный на большей площади? — Я ваял бы, например, по их понятиям, малый штабель, и перекладкой бревен превратил бы его в «большой». Это могло бы их убедить, но, пожалуй, они бы сказали: «Да, теперь здесь больше дерева, и оно стоит больше», —

ис этой проблемой было бы покончено. — В этом случае мы бы, вероятно, сказали, что под словами «больше дерева» и «меньше дерева» они понимают просто не то же самое, что мы; и что у них совсем другая система оплаты, чем у нас.

150.(Сообщество, действующее таким образом, вероятно, напомнило бы нам «умника» из сказки.)

151. В предисловии к Основным законам арифметики ФРЕГЕГО-

48

Ι, 1937-1938

ворит: «...здесь мы имеем доселе незнакомый вид безумия», — но он не указал, как реально выглядело бы это «безумие».

152. В чем состоит согласие людей относительно признания той или иной структуры в качестве нового доказательства? В том, что они используют слова как язык? Както, что мы называем «языком». Представь себе людей, пользующихся в обращении деньгами , — монетами, которые выглядят как наши монеты, отчеканенные из

золота или серебра; и они тоже отдают их за товары. Но каждый предлагает за них столько, сколько ему хочется, а продавец не отпускает покупателю больше или меньше товара в соответствии с полученной от него суммой. Одним словом, эти деньги или то, что выглядит как деньги, играют у них совсем иную роль, чем у нас. Мы чувствовали бы себя значительно менее родственными этим людям, чем людям, которые еще вообще незнакомы с деньгами и практикуют примитивный вид товарообмена. — «Но монеты этих людей тоже имеют какой-то смысл!» — Тогда все, что делают люди, имеет какой-то смысл? Скажем, религиозное действие. —

Вполне возможно, что мы были бы склонны называть людей, ведущих себя так, безумными. Но мы же не называем безумными всех, кто ведет себя подобным образом в формах нашей культуры, «бесцельно» употребляя слова. (Подумай о коронации короля!)

153.Доказательство требует ясности. Если бы ясно не просматривался процесс, с помощью которого получен результат, все же можно было бы заметить, что получается это число, — но что должно мне это подтвердить? Я не знаю, «что должно было получиться».

154.Возможно ли, что сегодня люди, просмотрев наши вычисления, были бы удовлетворены результатами, но завтра захотели бы извлечь из них совсем другие выводы, а в какой-то иной день опять другие?

Аразве нельзя представить себе, что это происходит закономерно, что если человек раз сделал этот переход, то в следующий раз он именно поэтому сделает другой и потому же (скажем) в последующий раз вновь первый? (Как если бы в некотором языке цвет, который один раз назывался «красным», по этой причине назывался бы иным именем следующий раз и снова «красным» после этого и т. д.; это могло бы быть так естественно для людей. Это можно было бы назвать потребностью в перемене.)

[Замечание на полях: вечны ли и неизменны ли наши законы вывода?]

49

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

155. Разве дело обстоит не так: коль скоро человек мыслит, он делает логические выводы, иначе быть не может.

Это, по-видимому, означает: коль скоро то-то не ставится под сомнение вообще.

Шаги, которые не ставятся под сомнение, — логические выводы. Но они бесспорны не потому, что «безусловно соответствуют истине» — и т. п., — а именно потому, что как раз это называют словами «мыслить», «говорить», «умозаключать», «аргументировать». Здесь совсем не идет речь о каком-то соответствии высказываемого реальному; скорее, логика предваряет любое такое соответствие в том же самом смысле, в каком установление метода измерения предваряет правильность или ошибочность того или иного утверждения о длине.

156. Установлено ли экспериментально, что одно предложение можно вывести из другого? — Кажется, что да! Ведь я записываю определенную последовательность знаков, руководимый определенными парадигмами, при этом, конечно, существенно, чтобы я не пропустил никакого знака или не потерял его каким-то иным способом. А о том, что получается в этом процессе, я говорю, что оно следует. Против данного положения есть такой аргумент: если 2 яблока, прибавленных к 2, дают только 3 яблока, то есть если имеется 3 яблока после того, как я положил 2 и вновь 2 яблока, то я не говорю: «Стало быть, 2 4- 2 не всегда 4», — но говорю: «Одно яблоко, должно быть, каким-то образом исчезло».

157.Но каким образом я провожу эксперимент, если просто следую уже записанному доказательству? Можно сказать: «Когда ты смотришь на эту цепь преобразований — разве тебе не кажется, что они согласуются с парадигмами?»

158.Следовательно, если это должно быть названо экспериментом, то, пожалуй, экспериментом психологическим. Ибо видимость согласования может, конечно, основываться на обмане чувств. И так иногда происходит, когда мы ошибаемся в расчетах.

Итак, некто говорит: «Это мой результат». А то, что показывает, что это мой результат, пожалуй, представляет собой некий эксперимент.

159.Можно сказать: результат эксперимента таков, что я в конце,

врезультате доказательства я убежденно говорю: «Да, это верно».

160.Является ли расчет своего рода экспериментом? — Является ли неким экспериментом мое вставание с кровати по утрам? Разве оно не могло быть экспериментом, который должен показать,

50

Ι, 1937-1938

ИА ек_ ли я после стольких-то часов сна достаточно сил, чтобы подняться?

И чего не хватает этому действию для того, чтобы быть экспериментом? Только того, что оно не служит этой цели, то есть произведено не для такого исследования. Нечто становится экспериментом вследствие его особого применения.

Является ли эксперимент, в котором наблюдают ускорение свободно падающего тела, физическим или же психологическим экспериментом, показывающим, что люди видят при таких обстоятельствах? А не может ли он быть и тем и другим? Разве он не зависит от обстановки, окружения, в которой его проводят; от того, как мы действуем, что говорим?

161.Если какое-то доказательство и понимают как эксперимент, то уж, во всяком случае, результатом эксперимента будет не то, что называют результатом доказательства. Результат вычисления — его итоговое предложение, результатом же эксперимента является то, что от этих предложений по этим правилам я был подведен к этому предложению.

162.Однако нас интересует не то, что те или иные (или все) люди фактически следуют этому правилу (или прошли этим путем); нам представляется само собой разумеющимся, что люди — «если они мыслят правильно» — идут таким путем. Нам дается некий уже проложенный путь, как бы протоптанный теми, кто прошел этим путем. Теперь же по этому пути осуществляется движение с разными целями.

163.Опыт, конечно, учит меня, как осуществляется вычисление; но это еще не основание для его принятия.

164.Я усвоил опытным путем, что результат, получившийся на этот раз, — это то, что получается обычно; но об этом ли говорит предложение математики? Я знаю по опыту, что прошел этим путем. Но является ли это математическим высказыванием? — И что оно говорит? В каком отношении находится оно к этим эмпирическим суждениям? Математическое высказывание имеет силу правила.

Втаком случае верно, что математика есть логика; она движется ίΐο правилам нашего языка. И это придает ей особую прочность, особое и неприступное положение.

(Математика закладывается на уровне эталонных образцов.)

165.Но как тогда она крутится туда-сюда в пределах этих пра-

51

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

вил? — Она постоянно создает все новые и новые правила: прокладывает все новые пути для движения, расширяя сеть старых.

166.Разве она не нуждается для этого в некой санкции? Может ли она развивать сеть правил произвольно? Что ж, я мог бы сказать: математик постоянно находит все новые формы представления. Некоторые из них вызываются практическими потребностями, другие — эстетическими и еще многими другими. А пред- ставь-ка себе планировщика парка, разбивающего в нем дорожки; вполне может быть, что он прочерчивает их лишь как линии орнамента и совсем не думает о том, что кто-то по ним будет ходить.

167.Математик — изобретатель, а не открыватель.

168.Мы знаем по опыту, что если отсчитываем что-нибудь на пальцах руки или же используем для этого группу предметов та-

кого вида: II111 — произнося: Я, Ты, Я, Ты и т. д., то первое слово,будет таким же, как и последнее, «Ну, а разве не должно быть именно так?» — Разве нельзя представить себе, что кто-то видит группу ЩИ (например) как группу IIIII, в которой средняя черточка как бы сплавлена из двух и считается дважды? (Правда, это необычный случай. —)

169. А если я впервые привлекаю чье-то внимание к тому, что результат счета предопределен заранее, и он это понимает и говорит: «Да, конечно, так и должно быть»? Что это за тип знания? — Например, он начертил для себя схему:

Я Τ Я Τ Я

I I I I I

И его рассуждение, скажем, таково: «Вот что происходит, когда я отсчитываю. — Следовательно, должно...»

52

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1. Легко представить себе язык, в котором нет вопросительной и повелительной формы, а вопрос и пожелание выражаются в форме утверждения, в форме, соответствующей, например, нашему: «Я хотел бы знать...» и «Я хочу, чтобы...».

О вопросе (например: идет ли на улице дождь) никто не стал бы утверждать, что он истинен или ложен. Это правомерно утверждать о предложении «Я желаю знать...», что вполне по-немецки. А если эта форма всегда используется вместо вопроса? —

2. Большинство предложений, которые мы высказываем, пишем и читаем, — это утвердительные предложения.

И эти предложения — говоришь ты — истинны или ложны. Или, как мог бы сказать и я, с их помощью играют в игру функций истинности. Ибо утверждение это не что-то присоединяемое к предложению, а существенный ход в игре, в которую мы с ним играем. Это сопоставимо, например, с той особенностью шахматной игры, что в ней есть выигрыш и проигрыш и что выигрывает тот, кто «съест» у другого короля. Правда, можно было бы преобразовать шахматную игру в иную, в определенном смысле очень близкую шахматам, с шахматными ходами, но без выигрыша и проигрыша или же с другими условиями выигрыша.

3.Представь себе, что было сказано: «Приказ состоит из предло- жения-рекомендации („предположения") и повеления предложенного».

4.Разве можно заниматься арифметикой и не прийти к мысли о высказывании арифметических предложений, не поразиться сходству между умножением и предложением?

Апокажи нам кто-нибудь неверно выполненное умножение, разве мы не покачали бы головой, как делаем это, когда нам говорят, что идет дождь, а дождя нет? — Покачали бы; и тут находится точка соприкосновения. Но ведь мы высказываем жестами свое неудовольствие и собаке, когда она, например, ведет себя не так, как бы мы хотели.

Мы привыкли говорить «2 раза по 2 есть 4», и глагол «есть» делает наше высказывание предложением и явно устанавливает близкое родство со всем, что мы называем «предложением». В то время как речь здесь идет лишь об очень поверхностной связи.

5. Есть ли в системе РлссЕла истинные предложения, которые не

53

ЗАМЕЧАНИЯ ПООСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

могут быть доказаны в его системе? — Что же тогда называется в системе РАССЕла истинным предложением?

6. Что же значит тогда, что предложение „ истинно" Ί „р" истинно = р. (Этоответ.)

То есть вопрос состоит примерно в следующем: при каких обстоятельствах утверждается предложение? Или: как употребляется утверждение предложения в языковой игре? И «утверждение предложения» здесь противопоставлено высказыванию предложения, скажем, как упражнению в языке — или как части другого предложения и т. п.

Итак, если в этом смысле спросить: «При каких обстоятельствах в игре РлссЕла утверждается предложение?» — то ответом будет: «В конце одного из его доказательств или в качестве „основного закона"» (Рр.). Иным образом утвердительные предложения вРАС СЕЛОВСКИХ символах в этой системе не употребляются.

7. «А разве не могут существовать истинные предложения, записанные в этой символике, но не доказуемые в системе РАССЕла?» — «Истинные предложения» — это, стало быть, предложения, которые истинны в. другой системе, то есть которые могут быть по праву утверждены в другой игре. Конечно, почему бы не быть таким предложениям или так: почему нельзя записать в РАС СЕЛОВСКИХ символах предложения, например, физики? Этот вопрос равнозначен такому: могут ли существовать в языке Евклида истинные предложения, которые не доказуемы в его системе, но истинны? — Ну ведь есть даже такие предложения, которые доказуемы в системе Евклида и ложны в другой системе. Разве невозможны — в другой системе — подобные (очень подобные) треугольники, которые не имеют равных углов? — «Но это же шутка! Тогда они будут „подобны" друг другу не в том же самом смысле!» — Да, конечно; и предложение, не доказуемое в системе РАССЕла, «истинно» или «ложно» в другом смысле, чем теорема

Principia Mathematica.

8. Я представляю себе, что кто-то просит моего совета, он говорит: «Я сконструировал предложение в РАССЕЛОВСКИХ символах (обозначу его как Р). С помощью определенных дефиниций и преобразований дело можно истолковать так, что утверждается: „Р недоказуемо в РАССЕЛОВСКОЙ системе". Разве я не должен сказать об этом предложении: оно либо истинно, либо недоказуемо. Но тогда, допустив его ложность, мы получали бы, что оно доказуемо! А ведь этого не может быть. Будь же оно доказано, дока-

54

Ι, 1937-1938; ПРИЛОЖЕНИЕ 1

зывалось бы и то, что оно недоказуемо. Стало быть, оно может быть лишь истинным, но не доказуемым».

Так же как мы спрашиваем: «В какой системе доказуемо?» — мы должны спросить: <<В какой системе „истинно"?» «Истинно в системе РлссЕла» означает, как уже было сказано: доказано в системе РлссЕла; а «ложно в системе РлссЕла» означает: противоположное доказано в системе РлссЕла. — Что же тогда означает твое: «Предположим, что оно ложно»? В расселовском смысле это означает: «Допустим, что противоположное доказано в системе РАС СЕла»; если твоепредполодкение таково, то теперь ты наверняка откажешься от толкования предложения как недоказуемого. А под «этим толкованием» я разумею его перевод в это предложение. — Если ты предполагаешь, что предложение доказуемо в системе РлссЕла, это тем самым означает, что оно истинно в расселовском смысле, а от интерпретации <<Рнедоказуемо» придется опять отказаться. Если ты предполагаешь, что предложение истинно в РАССЕЛОВСКОМ смысле, то далее следует то же самое. Далее, если предложение ложно в каком-то ином, чем РАССЕЛОВСКИЙ, смысле, то это не противоречит тому, чтобы оно было доказано в системе РлссЕла. (То, что в шахматах означает «проигрыш», в ка- кой-либо другой игре может составить победу.)

9.Тогда что означает: Ρ и «Р недоказуемо» суть одно и то же предложение? Это значит, что эти два предложения в такой-то системе записи имеют одно выражение.

10.«Но ведь Ρ не может быть доказуемо, ибо если предположить, что оно доказано, то было бы доказано предложение, что оно недоказуемо». Но если бы это было доказано или если бы я полагал — может быть, ошибочно, — что доказал это, почему же я должен не соглашаться с доказательством и говорить, что я считаю мою интерпретацию «недоказуемой»!

11.Предположим, я доказываю недоказуемость Ρ (в системе РАССЕЛЕ); таким образом, я этим доказательством доказал Р. Ну, ес-

ли это доказательство бьшо бы доказательством в системе РАССЕла, то одновременно была бы доказана принадлежность и непринадлежность его системе РлссЕла. — Это случается, когда строят такие предложения. — Но ведь здесь же налицо противоречие! — Ну да, здесь противоречие. А чему оно здесь мешает?

12. Мешает ли противоречие, которое возникает, когда кто-то говорит: «Я лгу. Следовательно, я не лгу. Следовательно, я лгу. — Й т. д.»? Я имею в виду: становится ли наш язык менее пригод-

55

4—1923

ЗАМЕЧАНИЯ ПО ОСНОВАНИЯМ МАТЕМАТИКИ

ным к употреблению из-за того, что в данном случае из одного предложения по обычным правилам можно вывести его противоположность, а из нее — снова первое предложение? — Само это предложение непригодно к употреблению, точно так же как и его вывод; но почему бы его не построить? — Это — никчемное занятие! — Это языковая игра, имеющая сходство с игрой, заключающейся в ловле большого пальца руки.

13.Таким образом, противоречие становится интересным лишь благодаря тому, что оно мучает людей и тем самым показывает, как из языка могут вырастать мучительные проблемы и какие вещи могут нас мучить.

14.Доказательство недоказуемости — это как бы геометрическое доказательство; доказательство, касающееся геометрии доказательств. Оно совершенно аналогично, например, доказательству того, что такая-то конструкция не может быть построена с помощью циркуля и линейки. Тем самым такого рода доказательство приобретает элемент предсказания, некий физический элемент. Ибо — как следствие из этого доказательства — мы ведь говорим человеку: «Не пытайся найти конструкцию (например, трисекцию угла) — можно доказать, что это не получится». Это значит: существенно, что доказательство недоказуемости может быть применено таким образом. Можно было бы сказать: оно должно быть для нас убедительным основанием для отказа от поисков доказательства (то есть конструкции такого-то типа).

Противоречие же нельзя использовать в качестве такого предсказания.

15.По праву ли нечто называется высказыванием <<Х недоказуемо», зависит от того, как мы доказываем это высказывание. Только доказательство показывает, что может служить критерием недоказуемости. Доказательство — это часть системы операций, игры, в которой данное предложение употребляется и показывает нам свой «смысл».

Стало быть, вопрос заключается в том, является ли здесь «доказательство недоказуемости Р» убедительным основанием для предположения, что доказательство Ρ не будет найдено.

16. Предложение «Р недоказуемо», как только оно доказано, имеет другой смысл, чем до того.

Если оно доказано, то оно представляет собой заключительную фигуру доказательства недоказуемости. — Если оно не доказано, то ведь еще неясно, что должно служить критерием его истин-

56