2.4. Операторное представление сигнала

Преобразование Фурье применяется лишь для сигналов с конечной энергией, т. е. для сигналов, удовлетворяющих условию

.

Функция s(t), удовлетворяющая записанному условию, называется абсолютно интегрируемой.

Более универсальным является операторное представление сигнала, которое основано на преобразовании Лапласа. При операторном представлении сигналу s(t), как функции действительной переменной t, ставится в соответствие функция комплексной переменной р – S(p), где p =  + jω (p называется комплексной частотой). Эта функция вводится следующим выражением, которое называется прямым преобразованием Лапласа (ППЛ):

(2.8)

Сигнал s(t) считается тождественно равным нулю при t < 0. Для существования этого интеграла сигнал s(t) должен иметь не более чем экспоненциальный степень роста при t > 0, т.е. должен удовлетворять неравенству |s(t)|ke^at, где k, a – положительные числа. Тогда интеграл (5.3) сходится для всех комплексных чисел p, у которых Re(p) > a. Число a называется абсциссой абсолютной сходимости.

Сигнал s(t) называют оригиналом, а S(p) – изображением, или операторным представлением сигнала. Соответствие между изображением S(p) и оригиналом s(t) в сокращенной записи обозначается:

S (p) s(t)

По изображению можно восстановить оригинал обратным преобразованием Лапласа (ОПЛ):

. (2.9)

Интегрирование принято проводить по неограниченно протяженной вертикальной оси, располагающейся правее абсциссы абсолютной сходимости интеграла (2.8). В частном случае ограниченного сигнала можно положить с=0.

Найдем изображения некоторых функций по формуле (2.8):

, (t) 1; 1(t) 1/p; A A/p (210)

, в частности, , . (2.11)

Записав sin(t) и cos(t) по формуле Эйлера через экспоненты и используя свойство линейности и формулы (5.8), получаем

, (2.12)

. (2.13)

Аналогично,

c ht , sht . (2.14)

Для нахождения функции спектральной плотности S(jω) по известному операторному представлению S(p) сигнала необходимо оператор р заменить на jω, т.е. S(jω) = S(р)|_{р = jω} .

П ример. Найти спектральную плотность S(jω) для единичной функции (рис. 2.15).

;

2.5. Свойства преобразований Фурье и Лапласа

Так как преобразования Фурье и Лапласа схожи, большинство их свойств совпадает. Рассмотрим эти свойства.

1). Свойство линейности. Для любых комплексных постоянных  и , если (здесь и в дальнейшем) s₁(t)  S₁(jω), s₂(t)  S₂(jω), то

 s₁(t)+s₂(t)  S₁(jω) + S₂(jω), s₁(t)+s₂(t)   S₁(p) + S₂(p).

Это вытекает из линейности преобразований Фурье и Лапласа.

2). Теорема запаздывания. Спектр сигнала, сдвинутый по оси времени на время t_з (время задержки), равен спектру исходного сигнала, помноженного на множитель :

s ₁(t – t_з)  S₁(jω) , s₁(t – t_з)   S₁(p)

На рис. 2.16 приведены сигналы: без временного сдвига (рис. 2.16, а), сигнал с задержкой на время t₀ (рис. 2.16, б) и сигнал с опережением на время t₀ (рис. 2.16, в). Напомним, однако, что при преобразовании Лапласа сигнал считается тождественно равным нулю при t < 0.

3 ). Теорема подобия. Изменение масштаба сигнала по оси времени приводит к изменению масштаба его спектра по оси частот

s ₁(αt)  S₁(jω /α), s₁(αt) S₁(p/α).

Если α>1, то сигнал сжимается по оси времени, что приводит к растяжению его спектра по оси частот.

Если 0<α<1, то сигнал растягивается по оси времени, а его спектр сжимается по оси частот.

Пример: s₁(t) = cos(ωt); s₂(t) = cos(2ωt).

4) Дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на множитель jω (или изображения на p).

d (s₁(t))/dtj S₁(jω), d(s₁(t))/dt p S₁(p)–s₁(0).

При дифференцировании выделяются высокочастотные составляющие спектра сигнала, а низкочастотные ослабляются, так как имеют малый масштабный множитель.

Изображения производной по Лапласу содержит начальное значения функции в отличие от преобразования Фурье.

5) Интегрирование сигнала эквивалентно умножению спектра на множитель 1/jω.

,

При интегрировании выделяются низкочастотные составляющие, а высокочастотные подавляются.