2.2 Гармоническое колебание

Гармоническим называется колебание, которое изменяется во времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Традиционно в электротехнической литературе используют синусную форму записи, а в радиотехнической – косинусную, которая и будет использоваться в дальнейшем.

Гармонический сигнал можно представить в нескольких формах:

- как функцию времени;

- комплексным выражением;

- векторное представление;

1. При временном представлении сигнал записывается гармонической функцией времени:

. (2.1)

Е го график называется временной диаграммой (рис. 2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются:

1) Амплитуда A_m (наибольшее отклонение от нуля). Размерность амплитуды связана с физической природой сигнала.

2) Период T (минимальный промежуток времени, между точками, находящимися в одной фазе), ω = 2π/T – круговая частота, f = 1/T – частота. Их размерность: T  [с]; f  [Гц]; ω  [рад/с].

3) ₀ – начальная фаза гармонического колебания;

4) Ψ(t) = (ωt + φ₀) – полная (мгновенная) фаза гармонического колебания.

2. При комплексном представлении гармоническое колебание представляется как реальная часть комплексной функции.

Вспомним комплексные числа. Комплексное число Z  можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической.

Z = a + jb = ,

где a = Re [Z] = A cos  – реальная часть; b = Im[Z] = A sin – мнимая часть комплексного числа Z ; А – mod[Z]=( а²+b²)^1/2 – модуль комплексного числа Z, – длина вектора комплексного числа, φ = arg[Z] = arctg(b/a) – аргумент числа Z.

П ереход от одной формы записи к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера:

На рис. 2.9 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости. Его можно представлять точкой построенной в декартовой (с координатами Re [Z], Im[Z] ) или вектором в полярной системе координат (А – длина вектора и φ₀ – начальная фаза). 

Гармоническую функцию времени (2.1) можно представить как реальную часть комплексной функции А_me^j(ωt+φ), называемое мгновенным или текучим комплексом гармонической функции:

К омплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е^jωt – множителем (оператором) вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимно однозначно, т.е.

.

3 . Векторное представление сигналов – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. Н а комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А_m c начальной фазой φ₀, вращающимся против часовой стрелки с частотой ω. Гармоническое колебание s(t) = A_mcos(ωt+φ₀) = представляется проекцией этого вектора на реальную ось (рис. 2.10).

Комплексная амплитуда представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A_m и начальной фазой ₀.

2.3. Спектральное представление сигналов

Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в теории электрических цепей и радиоэлектронике используется оригинальный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Подобным образом можно также упростить задачу синтеза сложных сигналов из совокупности простых сигналов.

Спектральный способ представления сигнала s(t) основан на представлении любой функции времени суммой гармонических составляющих с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. При спектральном представлении сигнал задается не как функция времени, а как функция частоты, что является очень удобным, поскольку свойства электрических цепей часто задаются их частотными характеристиками.

Спектры периодических сигналов

Из математики известно, что любой периодическая функция s(t), удовлетворяющий условиям Дирихле, может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

, (2.2)

где – основная частота следования сигнала (первая гармоника сигнала), n – номер гармоники сигнала, n₁ – частота n-й гармоники сигнала, с₀, a_n, b_n – коэффициенты ряда Фурье:

– постоянная (средняя) составляющая сигнала;

– косинусная составляющая амплитуды n-ой гармоники спектра сигнала;

– синусная составляющая амплитуды n-й гармоники спектра сигнала;

– амплитуда n-ой гармоники;

– начальная фаза n-ой гармоники.

Для наглядного изображения спектров сигналов их изображают в виде графиков, при этом рассматривают по отдельности амплитудный спектр и фазовый спектр.

Амплитудным, или амплитудно-частотным, спектром (АЧС) называется зависимость амплитуд гармонических составляющих от частоты (АЧС→A_n(ω)).

Фазово-частотным спектром (ФЧС) называется зависимость начальных фаз гармонических составляющих от частоты (ФЧС→_n(ω)).

Спектр гармонического сигнала состоит из одной составляющей с амплитудой A_m и начальной фазой ₀, расположенных на частоте ω₀ (рис 2.11).

Из ряда Фурье следует, что спектр периодического сигнала имеет дискретный (линейчатый) характер по оси частот (рис. 2.12).

а

б





ФЧС

₀

₀

₀

A_m

0

0

Рис. 2.12 Рис. 2.11

Комплексная форма ряда Фурье.

Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме, представив гармонические функции в виде суммы экспонент с мнимыми показателями, применив формулы Эйлера:

. (2.3)

Введем вместо a_n и b_n новые коэффициенты для n=1, 2, 3, Величины C_n можно определить и при отрицательных индексах n, причем , поскольку коэффициенты a_n четны, а b_n нечетны относительно индексов. Таким образом, суммирование в (2.3) можно распространить на все значения n, положительные и отрицательные, включая и нуль:

, (2.4)

Формула (2.4) является рядом Фурье в комплексной форме. Коэффициенты ряда C_n находится по формуле

. (2.5)

Спектральная диаграмма периодического сигнала, представленного в форме (2.4), симметрична относительно начала отсчета частоты и содержит компоненты на отрицательной полуоси частот. Отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, обусловленное способом представления комплексных чисел. Рассмотрим тождество

П ервое слагаемое в правой части изображается на комплексной плоскости вектором длины ½, который вращается с угловой скоростью  в направлении увеличения полярного угла ₁t (рис.2.12), второе слагаемое изображается вектором, вращающимся в противоположном направлении. Складываясь, эти два комплексных числа дают вещественное число.

В ряде (2.4) слагаемые с положительными и отрицательными частотами образуют пары. Например,

.

При суммировании каждая пара дает соответствующую гармонику сигнала.

Спектры непериодических сигналов

Непериодический сигнал в ряд Фурье разложить нельзя. Для него вводят интеграл Фурье, который является пределом ряда, когда (T→∞).

Пусть s(t) – одиночный сигнал, длительность которого конечна. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени T, мы получаем периодическую последовательность, которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (2.4).

Чтобы вернуться к одиночному импульсу следует устремить период к бесконечности. При этом:

1) основная частота следования ₁= → 0. Это означает, что расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте следования ₁, становится бесконечно малым и дискретная переменная n₁ становится непрерывной , сумма заменяется интегралом, спектр становится сплошным.

2) амплитуды гармонических составляющих , т.е. спектр состоит из гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами.

Поэтому спектр непериодического сигнала характеризуется функцией спектральной плотности. Она показывает плотность распределения бесконечно малых амплитуд по оси частот, т.е. показывает, сколько гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами приходится в диапазон частот df.

Функция спектральной плотности S(jω) связана с сигналом s(t) через преобразование Фурье:

– прямое преобразование Фурье (ППФ). (2.6)

– обратное преобразование Фурье (ОПФ). (2.7)

Функция спектральной плотности – это комплексная функция частоты

S(jω) = S(ω)e ^jφ(ω),

где S(ω) – модуль функции спектральной плотности, его называют спектральной плотностью амплитуд, φ(ω) – аргумент функции спектральной плотности – спектр фаз.

Главной особенностью спектра непериодического сигнала является его сплошной непрерывный характер.

Пример. Найти S(jω) одиночного прямоугольного импульса (рис. 2.13).

П о временной диаграмме запишем аналитическое выражение такого сигнала:

Найдем функцию спектральной плотности импульса и приведем это выражение к функции типа (sin x/x).

Спектральная плотность амплитуд такого импульса (рис. 2.14) имеет вид:

.

И деализированные модели сигналов часто имеют бесконечный спектр по оси частот. В то же время для них применяют понятие о ширине спектра, т.е. считают, что спектры у таких сигналов ограничены. Под шириной спектра понимают диапазон частот, в котором сосредоточена заданная доля от энергии всего сигнала, обычно 50% .

Для одиночного прямоугольного импульса за ширину спектра принимают интервал частот от 0 до 2/τ_и, т.е. верхняя граничная частота спектра _гр = 2/τ_и. .

Следовательно, чем короче импульс τ_и, тем шире его спектр _гр.