Критерій Баєса-Лапласа (bl)

При побудові ОФ (згідно ММ-к) кожний варіант E_i представляється лише одним з своїх результатів e_ir=min e_ij.

Критерій Баєса–Лапласа (BL), навпаки, враховує кожний з можливих результатів.

Хай q_j – ймовірність появи зовнішнього стану F_j, тоді для BL-критерію (BL-к).

Zbl=max eir

E0 = { Ei0 | Ei0ÎE L ei0= L }

Правило вибору: Матриця рішень ||e_ij|| доповнюється ще одним стовпцем, що містить математичне сподівання значень кожного з рядків. Вибираються ті варіанти E_i0, в рядках яких стоїть найбільше значення e_ir цього стовпця.

Ситуація, в якій приймається рішення, характеризується наступними обставинами:

ймовірності появи станів F_j відомі і не залежать від часу;

рішення реалізується (теоретично) нескінченне число разів;

для малого числа реалізацій рішення допускається деякий ризик;

початкова позиція ЛПР(людина, що приймає рішення)., що використовує BL-k, більш оптимістична ніж при ММ-к, але вона припускає більш високий рівень інформованості і достатньо довгі реалізації.

9 S – критерій

Критерій Севіджа відповідає позиції песимізму.

За допомогою позначень

e_ij–e_ij та

формується ОФ

і будується множина оптимальних варіантів рішення

E₀={ E_i0 | E_i0 є E  e_i0= e_ir }.

Величину а_ij= можна трактувати як максимальний виграш, якщо в стані F_i замість варіанта Е_i вибрати інший, оптимальний для цього значення стану варіант.

Можна також інтерпретувати a_ij як втрати (штрафи), що виникають в стані F_j при заміні оптимального варіанта на варіант E_i. Тепер Z_s ці максимально можливі втрати мінімізуються за рахунок вибору підходящого варіанта E_i.

Правило вибору рішення згідно критерію S:

Кожний елемент матриці рішень ||e_ij|| віднімається з найбільшого результату відповідного стовпця. Різниці a_ij утворюють матрицю залишків ||e_ij||. Ця матриця доповнюється стовпцем найбільших різниць е_ir. Вибираються ті варіанти E_i0, в строчках яких стоїть найменше значення для цього стовпця.

З точки зору результатів матриці ||e_ij|| S-критерій пов’язаний з ризиком, однак з позиції матриці ||e_ij|| він від ризику вільний. В іншому він до ситуації ПР ставить ті ж вимоги, що і у випадку ММ-критерію.

10 Приклад застосування класичних критеріїв

Вимоги, що ставляться до ситуації, роблять можливим застосування класичних критеріїв тільки для ідеалізованих практичних рішень.

У випадках, коли вимагається дуже сильна ідеалізація, можна одночасно по черзі використовувати різні критерії. Після цього з декількох варіантів, які відібрані як оптимальні, все таки вольовим чином виділяють остаточне рішення. Такий підхід дозволяє послабити вплив суб’єктивного фактора.

Вибір рішення за КК проілюструємо на прикладі.

Хай управляючу ЕОМ необхідно піддати перевірці з при зупинкою, природно, її експлуатації. Через це призупиняється випуск продукції. Якщо ж експлуатації ЕОМ заважатиме вчасно не знайдена несправність, то це призведе не тільки до зупинки роботи, а й до аварійної поломки.

Варіанти рішень такі:

Е₁ – повна перевірка;

Е₂ – мінімальна перевірка;

Е₃ – відмова від перевірки.

ЕОМ може знаходитись в таких станах:

F₁ – несправностей немає;

F₂ – має місце незначна несправність;

F₃ – має місце серйозна несправність.

Результати включають витрати на перевірки і знешкодження несправностей, а також витрати, що пов’язані втратами в продукції та з аварійною поломкою.

Табл. Варіанти рішень про перевірку ЕОМ та їх оцінки (в 10³) згідно ММ- та BL-критеріям для q_I=0,33

F E	F1	F2	F3	MM-критерій		BL-критерій
				eir=min eij j	eir=max eir I	eir=eijqI j	eir=max eir I
E1	-20,0	-22,0	-25,0	-25,0	-25,0	-22,33
E2	-14,0	-23,0	-31,0	-31,0		-22,07
E3	0	-24,0	-40,0	-40,0		-21,33	-21,33

MM-критерій пропонує рішення E₁– повну перевірку, а BL – критерій, враховуючи, що всі стани ЕОМ рівноімовірні, рекомендує відмовитись від перевірки

(E₀ = {E₃}).

Табл. Матриця залишків для приклада “Рішення про перевірки ЕОМ” та їх оцінка (в 10³) згідно S-критерію

F E	F1	F2	F3	S-критерій
				eir=max aij j	eir=min eir i
E1	-20,0	-22,0	-25,0	-25,0	-25,0
E2	-14,0	-23,0	-31,0	-31,0
E3	0	-24,0	-40,0	-40,0

S-критерій рекомендує мінімальну перевірку (E₀ = {E₂}). Кожен критерій пропонує інше рішення. Для прийняття доцільно отримати додаткову інформацію про саму ситуацію. Якщо рішення, що приймається, відноситься до сотень ЕОМ з однаковими параметрами, то доцільно використовувати BL-критерій. Якщо ж число реалізацій незначне, то більшу вагу мають більш обережні рекомендації S- або ММ-критеріїв. Для технічних задач різні критерії призводять до одного результату. Припустимо, що в даному пристрої серйозна несправність (стан F₃) зустрічається вдвічі частіше ніж будь-який інший стан (q₁= q₂; q₃=0,5); тоді BL – критерій, як і ММ-критерій, рекомендує повну перевірку.

Бувають випадки коли всі критерії дають однакові результати. Якщо за допомогою відповідних заходів вдається знизити витрати на повну перевірку і в першому рядку будемо мати: e₁₁= -18,0*10³; e₁₂= -20,0*10^-3; e₁₃= -22,0*10^-3, то всі три критерії будуть рекомендувати повну перевірку. Будь-який варіант є слабодомінуючим. Сильне домінування має місце для всіх результатів e_1j одного з варіантів, якщо справедливо:

e_1j<= e_ij, для j=1, …, n та

e_1j < e_ij, хоча б для одного j.

Над варіантом E₁ інші варіанти домінують його можна виключити з матриці рішень, так як для всякого F_j він дає гірший результат ніж інші. Якщо якийсь варіант Е₁ сильно домінує, тобто

e_1j=> e_ij, для всіх j=1, …, n та

e_1j > e_ij, хоча б для одного j.

то при відсутності інформації про зовнішні стани для будь-якого F_j-варіант Е₁ – найкращий.

11 HW- критерій

Намагаючись зайняти найбільш врівноважену позицію, Гурвіц запропонував критерій (HW), оцінювана функція якого знаходиться десь між точками зору максимального оптимізму і крайнього песимізму.

тоді: ,

де С – ваговий коефіцієнт.

Правило вибору: Матриця рішень доповнюється стовпчиком, що містить середні зважені найменшого і найбільшого результатів для кожного рядка матриці . Вибираються ті варіанти , в рядках яких стоять найбільші елементи цього стовпчика.

Для С=1 H-W-критерій перетворюється в ММ-критерій, а для С=0 – в критерій азартного гравця. Отже, роль коефіцієнта С дуже важлива. Правильно вибрати С також складно, як і критерій. Найчастіше вибирають С=0.5, як “середню точку зору”. Для обґрунтування рішень використовують зворотній порядок дій.

Приклад:

	F1	F2	F3	F4	…	Fn-1	Fn
E1	10000	1	1	1	…	1	1
E2	9999	9999	9999	9999	…	9999	0.99

Вибір за HW-критерієм приведе до нераціонального рішення.

Застосовується HW- кр

итерій в ситуаціях, коли:

Про ймовірність появи нічого невідомо;

З появою станів необхідно рахуватись;

Реалізується мала кількість рішень;

Допускається деякий ризик.

12 HL- критерій

HL-критерій спирається одночасно на ММ-критерій і BL-критерій. Параметр V виражає ступінь довіри до розділу ймовірностей, що використовуються. Якщо довіра висока (V=1), то використовується BL критерій, інакше ММ-критерій.

Оцінювальна функція:

, ,

а множина HL-оптимальних рішень:

Ступінь впевненості в якій-небудь функції ймовірності важко піддається оцінці. Отже вибір V піддається впливу суб’єктивізму. Без уваги залишається число реалізацій, бо при малих числах реалізації допускається деякий ризик.

13 G- критерій

Підхід Гермейєра до пошуку ефективних і здатних до компромісу рішень в області поліоптимізації – тобто всіх рішень, які не вважаються попередньо гіршими, ніж інші, орієнтовано на величини втрат , тобто на від’ємні значення всіх

;

;

Множина G оцінювальних рішень:

.

Для господарських задач умова , як правило виконується. Якщо ж зустрічаються , то використовується перетворення.

при підібраному (значення також впливає на вибір оптимального рішення).

Якщо розподіл рівномірний j=1,…,n то G-критерій стає ідентичним ММ-критерію.

Якщо ж функція розподілу відома не досить надійно, а числа реалізацій малі, то при використанні G-критерію має місце невиправдано великий ризик.

14 Р - критерій

Р-критерій орієнтовано на величини виграшів, тобто на значення . В теорії нечітких множин Р-операція служить для фільтрації інформації:

,

.

Р-критерій дає результати від несиметричного (ММ) до нейтрального підходу (HW при С=0,5).

Тоді .

Якщо умова порушується, то виконують деякий зсув з деякою константою .

На практиці використовують:

Якщо ж будь-яке не має сенсу, то Р-критерій не використовується. Р більш оптимістичний ніж ММ-критерій.