- •1 Основні поняття і визначення тпр
- •2 Матриця рішень
- •3 Поняття оцінювальної функції
- •4 Поле корисності рішень
- •5 Функція переваги
- •6 Особливі випадки матриці рішень
- •Критерій Баєса-Лапласа (bl)
- •10 Приклад застосування класичних критеріїв
- •15 Комбінований bl(mm)- критерій
- •17 Приклад застосування bl(mm)
- •18 Bl(s) - критерій
- •20 Дерево подій
- •21 Дерево рішень
- •23 Декомпозиція багатоетапного дерева рішень
- •25 Структуризація генеральної мети. Дерево цілей.
- •26 Оптимальність за Парето.
- •27 Необхідні та достатні умови оптимальності за Парето.
- •29 Оптимальність за Слейтером
- •30 Методи розв’язання багатокритерійних задач
- •31 Методи глобального критерію
- •32 Лінійне згортання критеріїв. Приклад.
- •33 Лінійне згортання нормованих критеріїв. Приклад.
- •34 Максимінне згортання критеріїв. Приклад.
- •36 Метод ідеальної точки. Приклад.
- •37 Методи переведення критеріїв у обмеження та послідовні поступки
- •38 Метод переведення критеріїв у обмеження
- •39 Метод лексикографічної оптимізації. Приклад.
- •41 Діалогові методи: метод оптимізації діленням відрізка навпіл, градієнтний метод
- •Метод наискорейшего спуска (метод градиента)
- •42 Методи з використанням бінарних відношень
- •43 Методи electre (I, II, III). Загальна характеристика.
- •44 Метод electre I.
- •Метод electre III
- •46 Багатоцільові рішення
34 Максимінне згортання критеріїв. Приклад.
Максимінна згортка - це найпростіший спосіб побудови узагальненого критерію (суперкрітерія), заснований на застосуванні вже добре нам відомого принципу максимина. Нехай ми маємо оцінки деяких об'єктів (альтернатив) по n критеріям. Кожен з критеріїв має свою розмірність, і ці розмірності зазвичай не збігаються. Тому для початку потрібно унормувати всі наявні оцінки. Робиться це за допомогою нормують множників - на основі вихідної матриці оцінок будується нова матриця з такими елементами: cij = де aj = - нормуючі множники. Далі до отриманого матриці застосовуємо принцип максимина. Подивимося, як це робиться на нашому прикладі: Вихідну матрицю ми, так само як і раніше, доповнили справа ще одним стовпцем, в який внесли значення мінімальних елементів кожної перерахованої рядка. З елементів доданого стовпця вибираємо найбільший. Рядок, в якій він стоїть і буде оптимальною альтернативою. В даному випадку оптимальною буде альтернатива А1. Недолік максимина згортки - це те, що вона враховує лише ті критерії, які дають найгірші оцінки, всі інші критерії ігноруються. Через це максимина згортку використовують не надто часто, частіше використовують лінійні і мультиплікативні згортки. Зате такий підхід завжди дає гарантований результат, нижче якого результату не буде. А що робити, якщо максимина згортка дасть кілька однакових результатів (таке теж буває!), А ЛПР необхідно вибрати одне рішення? Для такого цікавого випадку А. Джоффріон запропонував використовувати так звану лексикографічну згортку. Робиться це так. Беруться дві (або декілька) оптимальні альтернативи, отримані методом максимина згортки, і з них вибирається найкраща методом лінійної згортки. Як бачимо, з такими числовими даними максимина згортка оптимальними вважає альтернативи А1 і А2. Тепер після максимина згортки застосуємо до альтернатив А1 і А2 лінійну згортку: В результаті отримали однозначну відповідь: оптимальною є альтернатива А1.
36 Метод ідеальної точки. Приклад.
тод ідеальної точки базується на тому, що постулюється існування “ідеальної точки” для розв’язку задачі, у якій досягається екстремум усіх критеріїв (принцип Джофріона). Так, на рис. 1 ідеальною є точка D в просторі критеріїв, якій не відповідає жоден припустимий розв’язок простору змінних. Оскільки ідеальна точка в абсолютній кількості випадків не знаходиться серед припустимих, виникає проблема знаходження точки, що “найближча” до ідеальної і належить до множини припустимих. Все було би добре, якщо б існувало єдине об’єктивне поняття “віддалі”, однак це не так - якщо на площині ми можемо з тим чи іншим обгрунтуванням застосовувати Евклідову метрику, то, наприклад, на поверхні кулі (земної також!) найкоротшою віддаллю буде дуга, а не пряма.
Таким чином, для розв’язання задачі за допомогою методу “ідеальної точки” необхідно насамперед визначити її координати, і надалі визначити метрику, за допомогою якої можна було б виміряти віддаль до оптимальної точки. Для визначення координат “ідеальної точки” розв’язуємо п однокритерійних задач за кожним з критеріїв оптимізації
Сукупність оптимальних значень критеріїв кожної з однокритерійних задач
і визначить координати ідеальної точки
в просторі критеріїв. Якщо “ідеальна точка” належить до множини припустимих (що зустрічається вкрай рідко), то розв’язок отриманий.
В іншому випадку визначаємо “віддаль” до ідеальної точки, вводячи метрику, і розв’язуємо однокритерійну задачу знаходження точки з числа припустимих, яка найменш віддалена від ідеальної. Таким чином задача матиме вигляд
«Идеальная точка» - идеальный объект в многомерном пространстве критериев, имеющий экстремальные значения всех критериев.
, где - векторная оценка идеальной точки в критериальном пространстве.
– расстояние между альтернативой и идеальной точкой.
Нахождение оптимального решения сводится к отысканию альтернативы , наиболее близкой к идеальной точке:
Метод идеальной точки состоит в отыскании на границе Парето точки, ближайшей к точке утопии, задаваемой ЛПР. Обычно ЛПР формулирует цель в виде желаемых значение показателей, и часто в качестве координат целевой точки выбирается сочетание наилучших значений всех критериев (обычно эта точка не реализуется при заданных ограничениях, поэтому ее и называют точкой утопии).
Пример.
Пусть на множестве ω плоскости (x,y), определяемой системой неравенств
заданы две линейные функции:
-
U = x + y + 2 V = x - y + 6
(1)
Требуется найти решение задачи
U → max, V → max
Рассмотрим решение данной задачи методом идеальной точки.Множество ω представляет собой пятиугольник (рис. 7), вершины которого имеют следующие координаты:
A(0;0), B(0;2), C(2;2), D(4;1), E(4;0).
Рис. 7.
В силу линейности критериев U и V пятиугольник ABCDE переходит в пятиугольник A*B*C*D*E* (рис. 8), координаты вершин которого вычисляются по формулам (1):
A*(2;6), B*(4;4), C*(6;6), D*(7;9), E*(6;10).
Рис. 8.
Находим границу Парето. Это отрезок D*E*. Точка утопии M*(7;10) считается заданной (ее координаты суть наибольшее значение U и V).
Требуется найти на множестве Парето точку, ближайшую к точке утопии M*. Из рисунка видно, что искомая точка должна лежать на отрезке D*E*. Проведем через точки D* и E* прямую. Пусть
αU+βV=γ
− ее уравнение. Чтобы отыскать конкретные значения параметров α,β и γ, подставим в него координаты обеих точек D* и E*. Получим
6α+10β=γ,
7α+9β=γ.
Вычитая из первого равенства второе, после простых преобразований придем к соотношению
− α + β = 0,
откуда
α = β.
Положим α = β = 1. Тогда γ = 16 и
U + V = 16
− искомое уравнение прямой.
По условию задачи нам нужно определить на прямой
U + V = 16
точку M0(U0,V0), расстояние которой от точки M*(7;10) минимально, т.е. решить экстремальную задачу:
z = (U − 7)2 + (V − 10)2 → min.
Так как U = 16 − V, то последнее соотношение можно переписать в виде
z = (9 − V)2 + (V − 10)2 → min..
Возведя в квадрат и приводя подобные, получаем, что
z = 2V2 − 38V + 181→ min..
Это уравнение описывает параболу с вершиной
Тогда
U0=16−V0=16−9,5=6,5.
Идеальная точка
M0(6,5;9,5)
Соответствующие значения x и y легко находятся из системы линейных уравнений
6,5 = x + y + 2
9,5 = x − y + 6
Имеем
x = 4, y = 0,5.