2.6. Граничные условия в задаче о поперечном растяжении

В задаче о поперечном растяжении ячейка периодичности находится в плоском деформированном состоянии:

(2.6.1)

При помощи обобщенного закона Гука компонент тензора нап­ряжений выражается через . Следовательно, в дальнейшем выясняется инвариантность относительно преоб­разований R_i только компонентов: ; .

2.6.1. Анализ кинематических граничных условий Хашина – Розена. Граничные условия имеют вид:

(2.6.2)

;

;

Отражения R₁, R₂ преобразуют ячейку периодичности, находящуюся под влиянием внешнего воздействия (2.6.2), в саму себя. Используя таблицы инвариантности 2.3 и 2.2, выписываем результаты применения преобразований R₁, R₂:

– V₁: неинвариантность компонента u₁ вектора перемещения u не противоречит кинематической совместности, так как

– плоскости сопряжения остаются плоскостями в деформированной ячейке периодичнос­ти (поворот плоскостей исключен в силу принципа суперпозиции Кюри);

– V₂: неинвариантность компонента u₂ не противоречит кине­матической совместности, так как из граничных условий следу­ет:

Компоненты u₁, u₂ обладают свойствами четности (обоз­начается знаком “+”) и нечетности (обозначается знаком “– “):

– нечетность по x₁, четность по x₂;

– нечетность по x₁, четность по x₂;

– t₁₂: касательное напряжение терпит разрыв при переходе через поверхность сопряжения, так как для гетероген­ной ячейки периодичности не является нулевым:

Вывод: кинематические граничные условия Хашина – Розена не удовлетворяют условию статической совместности деформированных ячеек периодичности.

2.6.2. Анализ статических граничных условий Хашина – Розена. Граничные условия имеют вид

(2.6.3) ;

;

Результаты применения преобразований R₁, R₂:

– V₁, – V₂: неинвариантность компонентов u₁ и u₂ относительно отражений R₁, R₂ противоречит условиям кинематической совместности, так как

– плоскости сопряжения гетерогенной ячейки периодичности не остаются плоскостями после деформирования;

– t₁₂: неинвариантность касательного напряжения относительно отражений R₁, R₂ не противоречит условию ста­тической совместности, так как из граничных условий следует:

Вывод:

статические граничные условия Хашина – Розена не удовлетворяют условию кинематической совместности деформированных ячеек периодичности.

2.6.3. Синтез кинематико-статических граничных условий. При помощи алгоритма 2.5.3 сформируем граничные условия в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности, кото­рые удовлетворяют условиям кинематической и статической совместности деформированных ячеек периодичности.

1. Результаты применения отражений R₁, R₂:

Свойства четности-нечетности компонентов u₁, u₂:

2. На плоскостях сопряжения задаем нормальные компо­ненты вектора перемещения u, которые являются неинвариантными относительно преобразований R₁, R₂:

3. Полагаем равными нулю касательные напряжения:

Нормальные напряжения инвариантны относительно отражений R₁, R₂ и обладают свойствами двоякой четности:

Вывод:

граничные условия в задаче о поперечном растяжении ячейки периодичности, удовлетворяющие условиям кинематической и статической совместности деформированных ячеек периодичности имеют вид:

;

;

– кинематико-статические граничные условия.