2.2. Преобразования симметрии абсолютных тензоров четвертого, второго и первого рангов
Введем
в рассмотрение абсолютные тензоры [19]:
–
тензор четвертого ранга;
–
тензор второго ранга; Vi
– тензор первого ранга (вектор), причем
тензоры
и
удовлетворяют следующим условиям
симметрии:
;
следовательно, тензор
содержит 21 независимый компонент; тензор
t
содержит 6 независимых компонентов;
вектор V
содержит 3 независимых компонента.
Пусть
– исходная прямолинейная ортогональная
система координат, a
– новая система координат, получающаяся
из исходной преобразованиями симметрии
(2.2.1);
– косинус угла между осями
и
;
,
– единичные векторы, задающие направления
новой оси
и старой оси. При переходе от исходной
системы координат к новой системе
координат при помощи преобразования
симметрии компоненты тензоров
и V
преобразуются по следующим правилам:
Результаты применения восьми преобразований симметрии (2.1.2) к тензорам , V содержатся в таблицах 2.1, 2.2, 2.3.
Первые столбцы этих таблиц содержат компоненты тензоров в исходной системе координат, что является результатом применения операции тождественности.
Таблица 2.1
Таблица
инвариантности
(преобразования
симметрии абсолютного тензора четвертого
ранга
)
|
|
|
|
|
|
|
|
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1111 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1122 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1133 |
C1123 |
C1123 |
C1123 |
– C1123 |
– C1123 |
C1123 |
– C1123 |
– C1123 |
C1131 |
C1131 |
– C1131 |
C1131 |
– C1131 |
– C1131 |
C1131 |
– C1131 |
C1112 |
C1112 |
– C1112 |
– C1112 |
C1112 |
– C1112 |
– C1112 |
C1112 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2222 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2233 |
C2223 |
C2223 |
C2223 |
– C2223 |
–C2223 |
C2223 |
– C2223 |
– C2223 |
C2231 |
C2231 |
– C2231 |
C2231 |
– C2231 |
– C2231 |
C2231 |
– C2231 |
C2212 |
C2212 |
– C2212 |
– C2212 |
C2212 |
– C2212 |
– C2212 |
C2212 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3333 |
C3323 |
C3323 |
C3323 |
– C3323 |
– C3323 |
C3323 |
– C3323 |
– C3323 |
C3331 |
C3331 |
– C3331 |
C3331 |
– C3331 |
– C3331 |
C3331 |
– C3331 |
C3312 |
C3312 |
– C3312 |
– C3312 |
C3312 |
– C3312 |
– C3312 |
C3312 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2323 |
C2331 |
C2331 |
– C2331 |
– C2331 |
C2331 |
– C2331 |
– C2331 |
C2331 |
C2312 |
C2312 |
– C2312 |
C2312 |
– C2312 |
– C2312 |
C2312 |
– C2312 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3131 |
C3112 |
C3112 |
C3112 |
– C3112 |
– C3112 |
C3112 |
– C3112 |
– C3112 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
C1212 |
Приведенные таблицы уместно назвать таблицами инвариантности, ибо в них содержится информация об инвариантности или неинвариантности (смене знака) компонентов тензоров , V относительно преобразований симметрии (2.1.2).
Таблица 2.2
Таблица инвариантности (преобразования симметрии абсолютного тензора второго ранга t)
|
|
|
|
|
|
|
|
t11 |
t11 |
t11 |
t11 |
t11 |
t11 |
t11 |
t11 |
t22 |
t22 |
t22 |
t22 |
t22 |
t22 |
t22 |
t22 |
t33 |
t33 |
t33 |
t33 |
t33 |
t33 |
t33 |
t33 |
t12 |
t12 |
– t12 |
– t12 |
t12 |
– t12 |
– t12 |
t12 |
t23 |
t23 |
t23 |
– t23 |
– t23 |
t23 |
– t23 |
– t23 |
t31 |
t31 |
– t31 |
t31 |
– t31 |
– t31 |
t31 |
– t31 |
Таблица 2.3
Таблица инвариантности (преобразования симметрии абсолютного тензора первого ранга V)
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
– V1 |
V1 |
– V1 |
– V1 |
– V1 |
V1 |
V1 |
V2 |
– V2 |
– V2 |
V2 |
– V2 |
V2 |
– V2 |
V2 |
V3 |
– V3 |
– V3 |
– V3 |
V3 |
V3 |
V3 |
– V3 |