![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Некоторые сведения из механики композиционных материалов
- •1.1. Основные соотношения теории упругости гетерогенной анизотропной среды [1, 2, 3]
- •1.2. Некоторые определения и исходные предпосылки. Представительный элемент объема [4–14]
- •1.3. Эффективные определяющие соотношения
- •1.4. Алгоритм решения задач механики композитов
- •2. Преобразования симметрии в механике волокнистых композитов
- •2.1. Преобразования симметрии. Группы симметрии
- •2.2. Преобразования симметрии абсолютных тензоров четвертого, второго и первого рангов
- •2.3. Анизотропные тела и макроскопически анизотропные среды (принцип Неймана)
- •2.4. K вопросу о постановке граничных условий
- •2.5. Постановка граничных условий
- •2.6. Граничные условия в задаче о поперечном растяжении
- •2.7. Граничные условия в задаче о поперечном сдвиге
- •2.8. Граничные условия в задаче о продольном сдвиге
- •2.9. Энергетические соотношения
- •3. Эффективные физико-механические характеристики boлоkhиctых композитов. Алгоритмы
- •3.1. Определение эффективных модулей Юнга и коэффициентов Пуассона
- •3.2. Определение эффективных коэффициентов линейного температурного расширения
- •3.3. Определение эффективных коэффициентов теплопроводности
- •3.4. Определение эффективных модулей сдвига
- •4. Эффективные физико-механические характеристики волокнистых композитов. Численные результаты, сравнительный анализ
- •4.1. Макроскопически ортотропная трехфазная гетерогенная среда. Эффективные модули Юнга, коэффициенты Пуассона, коэффициенты линейного температурного расширения и модули сдвига
- •Основные параметры конечно-элементных моделей
- •4.3. Некоторые оценки и методы определения эффективных характеристик. Сравнительный анализ
- •4.4. Макроскопически ортотропная пятифазная гетерогенная среда. Эффективные коэффициенты теплопроводности
1.3. Эффективные определяющие соотношения
Существенным
результатом решения задачи в
микромеханической постановке является
вычисление тензора эффективных модулей
упругости
или
тензора эффективных упругих податливостей
,
которые определяются как тензоры,
связывающие макроскопические тензоры
напряжений и деформаций при определенных
граничных условиях:
(1.3.1)
1.3.1. Кинематические граничные условия Хашина – Розена [15].
Для теоретического построения эффективных определяющих соотношений рассмотрим квазистатическую задачу теории упругости гетерогенной среды (1.1.1), (1.1.2) при кинематических граничных условиях Хашина – Розена:
(1.3.2)
,
(1.3.3)
где
S
– поверхность, ограничивающая
представительный элемент объема V;
– симметричный тензор-константа.
Определив
вектор перемещения u,
по соотношениям Коши (1.1.5) находим тензор
микродеформаций
и вычисляем средний тензор микродеформаций
.
Отметим, что в гомогенной среде при
задании граничных условий (1.3.3) тензор
микродеформаций
равен тензору-константе
.
Если рассматривается гетерогенная
среда, то тензору-константе
равен средний тензор микродеформаций
,
что легко доказывается, если воспользоваться
соотношениями Коши, теоремой Гаусса –
Остроградского и специальным видом
граничных условий (1.4.3):
(1.3.4)
По
найденному тензору микродеформаций
с помощью определяющих соотношений
(1.1.6) определяем тензор микронапряжений
и вычисляем
.
Из решения задачи следует, что каждому
тензору
соответствует макроскопический тензор
напряжений
.
Соотношения, определяющие соответствие
между макроскопическими тензорами
деформаций и напряжений носят название
эффективных определяющих соотношений
и имеют вид (1.3.1).
1.3.2. Статические граничные условия Хашина – Розена [15]. Зададим на поверхности S представительного элемента объема поверхностную нагрузку:
,
(1.3.5)
где
– симметричный тензор-константа.
Определив вектор перемещения
u
и тензор микродеформаций
,
вычисляем средний тензор микродеформаций
.
В гомогенной среде тензор микронапряжений
равен тензору-константе
,
а в гетерогенной среде тензору-константе
равен средний тензор микронапряжений
:
,
(1.3.6)
где
– вектор напряжения (формула Коши). Из
решения задачи следует, что каждому
тензору
соответствует макроскопический тензор
деформаций
(определяющие
соотношения (1.3.1)).
1.3.3. Энергетические соотношения. Обратимся к записи определяющих соотношений в форме (1.1.9) и (1.1.10). Проведем осреднение упругого потенциала, считая, что заданы кинематические граничные условия (1.3.3):
(1.3.7)
Сформулируем полученный результат в виде теоремы:
Теорема
1. Если для
гетерогенной среды, занимающей объем
V
и ограниченной поверхностью S,
заданы кинематические граничные
условия
,
соответствующие однородной деформации
гомогенной среды, то средний по объему
упругий потенциал равен упругому
потенциалу для средних деформаций
(“эффективному” упругому потенциалу):
,
(1.3.8)
а эффективные определяющие соотношения имеют вид:
(1.3.9)
Осредним упругий потенциал, считая, что заданы статические граничные условия (1.3.5):
(1.3.10)
Сформулируем полученный результат в виде теоремы:
Теорема
2. Если для
гетерогенной среды, занимающей объем
V
и ограниченной поверхностью S,
заданы статические граничные условия
,
соответствующие однородному
напряженному состоянию гомогенной
среды, то средний по объему упругий
потенциал равен упругому потенциалу
для средних напряжений (“эффективному”
упругому потенциалу):
,
(1.3.11)
а эффективные определяющие соотношения имеют вид:
(1.3.12)
Эффективные определяющие соотношения в термомеханике композиционных материалов имеют вид:
(1.3.13)
,
(1.3.14)
где F* – “эффективная” свободная энергия.