1.4. Алгоритм решения задач механики композитов

В качестве единого и самостоятельного подхода к решению задач механики композиционных материалов следует выделить метод конечных элементов. Учитывая эффективность МКЭ при ис­следовании напряженно-деформированного состояния гетерогенных анизотропных сред, можно предложить следующий алгоритм решения задач механики композитов, основанный на использовании конечно-элементного анализа:

1. Решается задача микромеханики /I/ – строится конечно-элементная модель реальной микронеоднородной среды и определяются поля микродеформаций и микронапряжений. Основным результатом решения задачи в микромеханической постановке является установление связи между механическими свойствами материалов компонентов и геометрическими характеристиками композита с одной стороны, и эффективными свойствами гетерогенной среды –свойствами макроскопически гомогенной среды, с другой стороны.

2. Решается задача макромеханики – строится конечно-элементная модель макронеоднородной среды, где основным компонентом является макроскопически гомогенная анизотропная среда, наделенная эффективными свойствами гетерогенной среды, и определяются макроскопические поля деформаций и напряжений.

3. Решается задача микромеханики /II/ – используется уже построенная или строится новая, более точная конечно-элементная модель микронеоднородной среды и решаются задачи концентрации напряжений у поверхности сопряжения двух компонен­тов и в зонах резкого изменения геометрии микроструктуры, решаются задачи локального разрушения.

2. Преобразования симметрии в механике волокнистых композитов

2.1. Преобразования симметрии. Группы симметрии

2.1.1. Преобразования симметрии. Преобразования пространственного объекта, приводящие объект в новое положение, которое в точности совпадает с начальным положением и от него физически не отличается, называются преобразованиями (операциями) симметрии; расстояния между всеми парами точек пространственного объекта остаются неизменными, т.е. объект не испытывает растяжения, сжатия, изгиба.

Введем в рассмотрение следующие операции симметрии:

– вращение вокруг оси X_i на угол 2p/n против часовой стрелки; ось вращения X_i называется осью симметрии n-го порядка;

R_i – отражение от плоскости , которая называется плоскостью симметрии;

E – тождественность (операцию тождественности можно рассматривать как вращение на угол 2p);

I – инверсия (операция инверсии представляет собой особый случаи вращения вокруг оси X_i на угол p с последующим отражением от плоскости ; точка называется центром инверсии или центром симметрии).

Преобразования симметрии можно описать аналитически как ортогональные преобразования координат:

, (2.1.1)

где r – вектор-радиус рассматриваемой точки; r¢ – вектор-радиус рассматриваемой точки после преобразования симметрии; Q – ортогональный тензор.

Преобразования симметрии осуществляются при помощи элементов симметрии. Элементы симметрии состоят из группы точек, которые не перемещаются при операциях симметрии – плоскости симметрии, оси симметрии, центр симметрии.

Преобразования симметрии представляют собой точечные преобразования симметрии, так как при этих преобразованиях пространственный объект не перемещается как целое и хотя бы одна его точка остается на месте.

2.1.2. Группы симметрии. Рассмотрим представительный эле­мент объема гетерогенной среды (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Представительный элемент объема (ячейка периодичности)

Начало прямолинейной ортогональной системы координат расположим в точке, которая остается неподвижной при всех преобразованиях симметрии. Выпишем преобразования симметрии, которые оставляют инвариантным представительный элемент объема:

(2.1.2)

Составим таблицу умножения Кэли, в которой представлены все возможные произведения элементов (2.1.2), записанные в следующем виде: (a и b взяты из первого столбца и пер­вой строки таблицы, а g находится на пересечении соответству­ющих строки и столбца).

Исследованием таблицы Кэли можно установить [17, 18], что множество элементов образует группу G, так как определена бинарная операция, которая удовлетворяет аксиомам замкнутости ( ), ассоциативности ( ), тождественности ), обращения ( ).

В силу того, что бинарная операция, действующая в группе G является коммутативной ( ; таблица Кэли является симметричной относительно главной диагонали), группа G яв­ляется коммутативной или абелевой. Группа G содержит конеч­ное число элементов – восемь, следовательно, группа G яв­ляется конечной группой восьмого порядка. Каждое из восьми преобразований симметрии может быть получено, например, из – подмножество элементов называется системой образующих элементов группы G. Это не единственная система образующих – элементы также являются системой образующих.

Определение. Группа G, содержащая элементы: , называется группой симметрии объекта G_o.

Рассматривая различные механические воздействия на пространственный объект, аналогичным образом в каждом конкретном случае можно определить группы симметрии воздействия G_i.