![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
Свойства евклидовых колец
В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.
Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.
Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь
, является корнем многочлена
со старшим коэффициентом, равным 1, тогда делится на . Целозамкнутость - общее свойство всех факториальных колец.
Свойства модулей над евклидовым кольцом
Пусть R - евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые R-модули обладают следующими свойствами:
Всякий подмодуль N конечнопорождённого R-модуля M конечно порождён. (следствие нётеровости кольца R)
Ранг подмодуля N не превосходит ранга модуля M. (следствие главности идеалов в R)
Подмодуль свободного R-модуля свободен. (то же)
Гомоморфизм
конечнопорождённых R-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен)
модуля N, образующие (базис)
модуля M, номер
и
- элементы кольца R, такие что
делит
и при i>k
, а при остальных —
. При этом коэффициенты определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца R. (Тут прямо задействована евклидовость кольца R.)
18. Предел функций в точке.
1. Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число bназывается пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа e существует такое положительное число d, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | < d, выполняется неравенство | f(x) – a | < e .
Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любой последовательности {xn}, сходящейся ка (стремящейся к а, имеющей пределом число а), причем ни при каком значении n хn ≠ а, последовательность {yn = f(xn)} сходится к b.
Данные определения предполагают, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестноститочки а, кроме, быть может, самой точки а.
Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.
Указанный
предел обозначается так:
Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа e > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2d > 0, высотой 2e и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а–d; а + d), за исключением, быть может, точки М(а; f(а)
Критерий Коши существования предела функции в точке. Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа e > 0 можно указать такую проколотую d-окрестность точки а, что для любых чисел х1 и х2, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство | f(x1) – f(x2) | < e.
Пусть
Тогда
существуют пределы суммы и произведения
функций f(x)
и g(x),
а в случае с ≠ 0 – и частного этих функций,
причём:
Если
определена сложная
функция F(f(x)),
причём
то
существует и предел сложной функции,
причём
В теории пределов доказываются следующие два утверждения.
Первый
замечательный предел:
Второй
замечательный предел:
где е –
знаменитое иррациональное число, e=
2,71...
При вычислении пределов для раскрытия неопределённостей, связанных с дифференцируемыми функциями, часто используют правило Лопиталя.
2. Функция многих переменных. Пусть функция у = f(x1; x2; …; xn) определена в некоторой выколотой окрестности точки Р(р1; р2; …; рn), принадлежащей области n–мерного пространства, состоящей из точек Х(x1; x2; …; xn). Число b называется пределом функции у =f(x1; x2; …; xn) при Х, стремящейся к Р, если для любого числа e > 0 существует такое положительное число d, что в точках Х выколотой окрестности точки Р, задаваемой неравенствами выполняется неравенство | f(x1;x2; ...;xn) – b | < e.
19. Сумма, разность, произведение и деление пределов функций.
Пусть
заданы две функции
и
.
Если существуют
и
,
то существуют и пределы суммы
и произведения этих функций, а при
и
предел частного, причем
,
,
.
Для
правильного применения этих теорем
очень важно существование пределов
каждой функции. Не трудно доказать, что
предел постоянной функции равен этой
постоянной, то есть
.
Из приведенных формул следует полезное
утверждение:
,
то есть постоянный множитель можно
выносить за знак предела. Если сделать
замену переменной
,
то вычисление предела при
всегда
можно свести к вычислению предела при
.
Из определения непрерывной
функции следует,
что ее предел совпадает со значением
функции в этой точке. Доказывают, что
все элементарные функции непрерывны в
области определения, поэтому, если
функция определена, то вычисление
предела сводится к применению указанных
теорем и подстановке
в
выражение для функции.