- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
Определение
Пусть — алгебра над кольцом . Дифференцирование алгебры — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница:
В более общем случае дифференцирование коммутативной со значениями в -модуле — это -линейное отображение , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае называют дифференциальным модулем над Множество всех дифференцирований со значениями в обозначается ( , ) и является -модулем. Функтор является представимым, его представляющий объект обозначается или и называется модулем кэлеровых дифференциалов. является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над , то есть существует такое дифференцирование , что любое дифференцирование пропускается через :
Свойства
имеет естественную структуру алгебры Ли:
Любое дифференцирование является дифференциальным оператором (в смысле коммутативной алгебры) первого порядка. Более того, если — алгебра с единицей, то для любого -модуля
Здесь — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из в .
является функтором из в .
37. Дифференцирование сложной функции.
Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции в точке имеет вид:
где — дифференциал тождественного отображения :
Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пример
Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
Многомерный случай
Пусть даны функции где и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
В частности, матрица Якоби функции является произведением матриц Якоби функций и
Следствия
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Формула Фаа-ди-Бруно
Формула имеет следующий комбинаторный вид:
где
π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
"B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
|A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).
38. Односторонние производные функции.
Односторонние производные
Правосторонний предел
называется правосторо́нней произво́дной или произво́дной спра́ва и обозначается символами
Аналогично, левосторонний предел
называется левосторо́нней произво́дной или произво́дной сле́ва и обозначается символами
Пусть дана функция Тогда существует конечная производная тогда и только тогда, когда существуют конечные и равные односторонние производные , так как по свойству пределов функции, согласно которому для существования предела необходимо, чтобы оба его односторонних предела существовали и были равны, имеем: если , то существует ,что является производной функции в точке , при этом .
Пример Рассмотрим линейную функцию . Тогда , и при любом . Получаем, что для линейной функции производная в любой точке равна угловому коэффициенту . (Что неудивительно: ведь касательная к прямой, служащей графиком линейной функции, -- это та же самая прямая, а угловой коэффициент касательной равен производной!) В частности, при получаем, что производная любой постоянной, то есть функции , равна 0:
|
(4.5) |
а при и получаем, что
|
(4.6) |