- •1. Понятие экстремума функции.
- •2. Формула Тейлора.
- •4. Теорема Коши.
- •5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
- •10.Замена переменных в определенном интеграле
- •11. Свойства непрерывных функций, заданных на сегменте.
- •12. Определенный интеграл.
- •13. Понятие дифференцируемости.
- •14. Дифференциал.
- •15. Точки перегиба графика функции.
- •16.Вогнутость и выпуклость графика функции
- •17.Вычисление площади криволинейного сектора
- •18.Длина дуги
- •19. Теорема Ролля.
- •20. Теорема Лагранжа.
- •22. Точки разрыва функции одной переменной.
- •Классификация точек разрыва функции.
- •23. Neopredelennyi integral I pervoobraznaya
- •24. Cвойства непрерывных функций, заданных на сегменте
- •25. Интеграл Римана.
- •26. Существование первообразной непрерывной функции.
- •1) Докажем, что
- •27. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •28. Свойства непрерывных на отрезке функций.
- •29. Вычисление объема тела.
- •30. Вычисление площади поверхности тел вращения.
1. Понятие экстремума функции.
Экстремум – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума ( – точка минимума; – точка максимума). Точка называется точкой строгого локального max(min) f(x), еcли
2. Формула Тейлора.
многочлен Тейлора для степени n
,
1) F(t) – дифференцируема и непрерывна [a,x]
2) при
при
По теореме Ролля в
остаточный член в формуле Лагранжа
3. Формула Маклорена. – Формула Тейлора при
Остаточный член:
а) в форме Лагранжа
б) в форме Пеано
4. Теорема Коши.
Если каждая из двух функций непрерывна на сегменте и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента и если, кроме того, производная отлична от нуля всюду внутри сегмента , то внутри этого сегмента найдется точка такая, что справедлива формула (формула Коши)
Доказательство:
1) докажем, что :
Предположим что , то по теореме Ролля для , внутри сегмента нашлась бы точка такая, что . Это противоречит теореме.
2) так как , то имеет место вспомогательная функция
– непрерывна на и дифференцируема
Имея ввиду, что и
5. Правило Лопиталя ( раскрытие неопределенностей).
а) Неопределенность вида
Т-1. Пусть – определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ; пусть, далее,
если существует , то существует
Доказательство: пусть
Доопределим в точке
по теореме Коши
по доопределению
так как – существует
Теорема доказана. Замечание 1
б) Неопределенность вида
Аналогично Т-1, но вместо заменяем
в) Неопределенности вида сводим к
6.Необходимые условия локальных экстремумов
Теорема. Если f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f’(x0)=0.
Доказательство. Так как в точке x0 f(x) имеет локальный экстремум, то существует интервал (x0-ϭ,x0+ϭ) в котором f(x0) является min(max).
По теореме Ферма f(x0)=0. Ч.т.д.
7.Разрывы функции одной переменной первого рода
Точка а называется точкой разрыва 1-го рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения. Limx->a+0f(x)limx->a-0f(x).
8.Разрывы функции одной переменной второго рода
Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.
9.Замена переменных в неопределенном интеграле
Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
Теорема. Пусть функция x=ϕ(t) имеет непрерывную производную ϕ’(t), тогда
Доказательство. Прибегнем к следующему свойству первообразной функции: если F(x)– первообразная для f(x), то F(ϕ(t)) – первообразная для . Следовательно, согласно определению понятия неопределенного интеграла: или Но в силу свойств неопределенного интеграла или . где разумеется .