![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Примеры
- •5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- •7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- •Неархимедово упорядоченное поле
- •8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- •10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- •12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- •13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- •15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- •Лемма Гейне — Бореля
- •16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- •17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- •Примеры
- •Алгоритм Евклида
- •Свойства евклидовых колец
- •Свойства модулей над евклидовым кольцом
- •20. Односторонние пределы функций.
- •21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- •22. Монотонная функция.
- •Условия монотонности функции
- •2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- •Непрерывность функции в точке
- •Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- •28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- •29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- •Определение
- •37. Дифференцирование сложной функции.
- •38. Односторонние производные функции.
- •39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- •Экстремумы
- •В ыпуклость и вогнутость.
- •40. Теорема Ролля.
- •Теорема (Ролля):
- •41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- •Отношение бесконечно больших
- •43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- •44. Теорема Тейлора.
- •45. Расширенная теорема о главном значении.
41. Теорема о промежуточном значении для производной.
Пусть
дана непрерывная
функция на отрезке
Пусть
также
и
без ограничения общности предположим,
что
Тогда
для любого
существует
такое,
что
.
Доказательство Рассмотрим
функцию
Она
непрерывна на отрезке
и
,
Покажем,
что существует такая точка
,
что
Разделим
отрезок
точкой
на
два равных по длине отрезка, тогда
либо
и
нужная точка
найдена,
либо
и
тогда на концах одного из полученных
отрезков функция
принимает
значения разных знаков (на левом конце
меньше нуля, на правом больше).
Обозначив
полученный отрезок
,
разделим его снова на два равных по
длине отрезка и т.д. Тогда, либо через
конечное число шагов придем к искомой
точке
,
либо получим последовательность вложенных
отрезков
по
длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть
-
общая точка всех отрезков
,
Тогда
и
в силу непрерывности функции
Поскольку
получим, что
Следствия
(Теорема о нуле непрерывной функции.)
Словами.
Если функция на концах отрезка принимает
значения противоположных знаков, то
существует точка, в которой она
равна нулю.
Словами
и формулами. Пусть
и
Тогда
такое,
что
В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;
42. Правило Лапиталя для неопределенности.
Точная формулировка
Условия:
или
;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует
,
тогда
существует
.
Пределы также могут быть односторонними.
Доказательство
Отношение бесконечно малых
Докажем
теорему для случая, когда пределы функций
равны нулю (то есть неопределённость
вида
.
Поскольку
мы рассматриваем функции
и
только
в правой проколотой полуокрестности
точки
,
мы можем непрерывным
образом их
доопределить в этой точке: пусть
.
Возьмём некоторый
из
рассматриваемой полуокрестности и
применим к отрезку
теорему
Коши.
По этой теореме получим:
,
но
,
поэтому
.
Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:
для
конечного предела и
для
бесконечного,
что является определением предела отношения функций.
Отношение бесконечно больших
Докажем
теорему для неопределённостей вида
.
Пусть,
для начала, предел отношения производных
конечен и равен
.
Тогда, при стремлении
к
справа,
это отношение можно записать как
,
где
—O(1).
Запишем это условие:
.
Зафиксируем
из
отрезка
и
применим теорему
Коши ко
всем
из
отрезка
:
,
что можно привести к следующему виду:
.
Для
,
достаточно близких к
,
выражение имеет смысл; предел первого
множителя правой части равен единице
(так как
и
— константы,
а
и
стремятся
к бесконечности). Значит, этот множитель
равен
,
где
—
бесконечно малая функция при
стремлении
к
справа.
Выпишем определение этого факта,
используя то же значение
,
что и в определении для
:
.
Получили,
что отношение функций представимо в
виде
,
и
.
По любому данному
можно
найти такое
,
чтобы модуль разности отношения функций
и
был
меньше
,
значит, предел отношения функций
действительно равен
.
Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то
.
В
определении
будем
брать
;
первый множитель правой части будет
больше 1/2 при
,
достаточно близких к
,
а тогда
.
Для других баз доказательства аналогичны приведённым.
Примеры
Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае
). В этом примере получается:
;
при
.