6.2.Обработка результатов прямых равноточных (равнорассеянных) измерений с многократными наблюдениями

Как уже указывалось, прямыми называются измерения, в результате которых искомые значения ФВ находят непосредственно из опытных данных.

Прямые измерения часто осуществляются путем многократных наблюдений, что, как уже говорилось выше, делается для повышения точности результатов измерений, т.е. снижения случайной составляющей погрешности.

Результаты наблюдений называются равно рассеянными (равноточными), если они являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами.

Обработка результатов прямых равноточных наблюдений производится в соответствии с ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями»

Проверка гипотезы о равноточности (равнорассеянности) результатов многократных измерений может проводиться с помощью различных критериев, например, Фишера, Романовского и др.

С помощью критерия Фишера проверяется гипотеза о том, что два ряда, состоящие из n₁ и n ₂ результатов измерений, являются равноточными.

Сущность заключается в том, что определяются эмпирические дисперсии s₁ s₂ для каждого ряда по следующим формулам:

и . . . . . . . . . .( 6.11).

Затем определяется дисперсионное отношение F_эксп=S₁/S₂, где S₁ должно быть большим S₂, т.е. S₁> S_2.

Измерения принимаются равноточными, если значения F_эксп не попадает в критическую область, т.е. F_эксп<F_q.

Значения F_q для различных уровней значимости q и степеней свободы k₁=n₁-1 и k₂=n₂-1 берутся из таблицы критерия Фишера или вычисляются по аппроксимирующим уравнениям.

Уровень значимости определяется как разница между 1 и принятой доверительной вероятностью: q=1-p.

Конечной задачей обработки результатов любых измерений является получение оценки истинного значения измеряемой физической величины Q и погрешности измерения при известной доверительной вероятности.

Причем оценка должна быть состоятельной, несмещенной и эффективной. Как уже было сказано выше, оценка является состоятельной если при n, стремящимся к бесконечности, оценка стремится к истинному значению ФВ, несмещенной - математическое ожидание равно оцениваемому параметру, эффективной - ее дисперсия меньше любой, получаемой другим способом.

На первом этапе обработки результатов измерений оценивают наличие грубых погрешностей (промахов), т.е. таких погрешностей результата отдельного наблюдения, которые для данных условий резко отличаются от отдельных результатов этого же ряда.

Источниками грубых погрешностей весьма часто бывают ошибки, допущенные оператором в процессе измерений или снятия показаний. Кроме того, эти погрешности возникают из-за внезапного выхода из строя СИ или резкого кратковременного изменения условий измерения.

Оценка наличия грубых погрешностей решается методами математической статистики – статистической проверкой гипотез. Суть методов заключается в том, что выдвигается нулевая гипотеза относительно результата измерения, который вызывает сомнение в его правильности и может рассматриваться как промах в связи с большим отклонением от других результатов измерения. Нулевая гипотеза заключается в утверждении, что «сомнительный» результат в действительности принадлежит к возможной совокупности полученных в данных условиях результатов измерений, и получение такого результата вполне вероятно. Используя соответствующие статистические критерии, пытаются доказать ее практическую невероятность, т.е. опровергнуть нулевую гипотезу. Если это удается, сомнительный результат исключается из дальнейшего рассмотрения. В противном случае такой результат оставляют в ряду измерений. На практике часто руководствуются рекомендацией: первый и последний результаты измерений исключают из ряда полученных.

Для исключения грубых погрешностей используются критерии Греббса (Смирнова), Шарлье, Шовенэ и др.

В определенных случаях погрешность может считаться промахом, если она превышает 3.

Выбор того или иного критерия основан на принципе практической уверенности. Для этого задаются достаточно малым уровнем значимости, т.е. малой вероятностью q того, что сомнительный результат действительно мог бы иметь место. Этот уровень значимости выбирают из ряда: 0,10; 0,05; 0,01; 0,005 и т.д. Для выбранного значения q определяют критическую область значений критерия проверки нулевой гипотезы. Если значения рассчитанного критерия попадают в эту область, то гипотеза отвергается, т.е. сомнительный результат измерения принимается за грубую погрешность.

Известен ряд критериев для оценки наличия грубой погрешности, такие как Греббса (Смирнова), Шаролье, Шовене, Диксона и др. Все эти критерии основаны на статистических оценках параметров распределения, т.к. в большинстве случаев действительные значения параметров распределения неизвестны.

Критерий Греббса (Смирнова)

Суть этого метода заключается в определении значения критерия К_г = ,

где: Х_с –сомнительный результат измерения,

- среднее арифметическое результатов измерений,

- среднее квадратическое отклонение результатов

измерений.

Критическая область значений этого критерия определяется как P(К_г>Z_q) = q.

В случае нормального распределения результатов измерений в зависимости от уровня значимости значения q и количества измерений n можно определить по следующим формулам:

Z_{q=0,1; n} = ,

Z_{q=0,05; n} = .

Формулы справедливы в диапазоне значений n 3 ≤ n≤25.

Если при выбранном уровне значимости q и числе измерений n рассчитанный критерий К_г > Z_q, то результат данного измерения отбрасывают, как содержащий грубую погрешность.

Значения Z_{q=0,1; n} и Z_{q=0,05; n} приведены в таблице приложения Д.

Порядок обнаружения грубой погрешности с использованием критерия Греббса (Смирнова) следующий.

- определяется среднее арифметическое значение результатов измерений ;

- вычисляется оценка среднего квадратического отклонения ;

- принимается требуемый уровень значимости q из ряда 0,001; 0,005; 0,05; 0,01.

Для технических измерений обычно берется q=0,05;

- определяется значение К_г = ;

- сравнивается расчетное значение К_г с Z_q. Если К_г < Z_q, рассматриваемый результат не содержит грубую погрешность и оставляется в ряду измерений. При этом принимается, что Р = 1 – q.

Затем проводится анализ наличия систематических погрешностей в ряде измерений , их обнаружение и исключение из результатов наблюдений. Получается исправленный ряд результатов наблюдений: .

Постоянные систематические погрешности не влияют на значение случайных отклонений результатов наблюдений от средних значений. Поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не позволяет их обнаружить. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях.

Прогрессирующие систематически погрешности могут быть обнаружены при помощи построения графика последовательности неисправленных результатов наблюдений или их отклонений от среднего значения (см. рис. 6.1).

отклонения неисправленных результатов наблюдений.

Систематические погрешности, изменяющиеся в процессе измерения, могут быть обнаружены аналитическими методами. Суть этих методов заключается в проверке статистической подконтрольности принятой гипотезы. Для этого могут быть использованы критерии Аббе или Бартлетта.

Рассмотрим сущность критерия Аббе.

После исключения грубых погрешностей определяются значение параметра q_эксп.

; 6.12.

Следующим шагом проверятся условие q_эксп.<q_табл. Если это условие выполняется, то систематическая погрешность присутствует.

Таблица 6.2

Значения параметра q_табл.

n	qтабл	n	qтабл
4	0.3902	13	0.5778
5	0.4102	14	0.5908
6	0.4451	15	0.6027
7	0.4680	16	0.6137
8	0.4912	17	0.6237
9	0.5121	18	0.6330
10	0.5311	19	0.6417
11	0.5482	20	0.6498
12	0.5636	25	0.6836

Проверка наличия систематической погрешности в ряде измерений может быть осуществлена с помощью регрессионного анализа для выяснения характера зависимости группового среднего от некоторого неслучайного аргумента (например, времени, контролируемой температуры, давления и др.), а также корреляционного анализа для обнаружения связи между результатами наблюдений и значениями измеряемой ФВ.

Изучение методов регрессионного и корреляционного анализа, которые достаточно сложны, в данной книге не рассматриваются.

Естественно, что лучше сразу получать результаты измерений без систематической погрешности или с небольшой погрешностью. Полностью исключить систематическую погрешность в процессе измерений, как правило, не удается. Однако существуют специальные приемы, обеспечивающие исключение части систематической составляющей погрешности измерений. Рассмотрим основные из этих приемов.

Если систематические погрешности считают постоянными по характеру проявления, то применяют один из следующих методов:

1. Исключение самого источника систематической составляющей погрешности измерений: например, путем предварительной установки измерительного прибора по уровню исключают погрешность от его неуравновешенной подвижной части.

2. Компенсация погрешности по знаку. Например, погрешность за счет вариаций показаний прибора исключают, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа, а затем вычисляют среднее значение.

3. Проводят симметричные измерения, например, для исключения погрешностей от гистерезиса, проходят по шкале вверх и вниз, так называемый «прямой» и «обратный» ход, а затем результаты усредняются (рис.6.2).

Систематическая погрешность, изменяющаяся в процессе измерения и обнаруженная статистическими методами, может быть в значительной степени скомпенсирована только в случае знания закона ее изменения. Например, зависимость от температуры. Для выяснения характера зависимости группового среднего систематической погрешности используется регрессивный анализ, а для обнаружения связи между систематической погрешностью и измеряемой физической величиной используют корреляционный анализ. Изучение методов корреляционного анализа выходит за рамки рассматриваемых вопросов т.к. они достаточно сложны и для изучения требуют большего количества времени.

Учет не исключенных систематических погрешностей

На практике систематическая погрешность очень часто включает несколько составляющих, исключить (учесть) которые полностью не всегда удается. Очень часто остаются так называемые не исключенные остатки систематической погрешности или просто неисключенные систематические погрешности (НСП), т.е. погрешности оставшиеся после введения поправок.

К числу не исключенных систематических погрешностей относятся следующие:

1. Погрешности, связанные с точностью определения поправок.

2. Погрешности, зависящие от точности измерения влияющей величины, входящей в формулу определения поправок.

3. Погрешности, связанные с колебанием влияющих величин при невозможности их контроля и учета поправок.

4. Методические или теоретические погрешности.

5. Погрешности, связанные с округлением при снятии показаний СИ.

6. Погрешности поверки и калибровки средств измерений и др.

Для каждого данного измерения не исключенные остатки систематической погрешности имеют вполне определенные значения, но эти значения нам неизвестны. Известно лишь, что в массе однократных измерений эти остатки лежат в определенных границах или имеют определенное среднее квадратическое отклонение, не превышающие , где к - номер не исключенной составляющей систематической погрешности. Если закон распределения не исключенной систематической погрешности неизвестен, то для самих систематических погрешностей _к принимают равномерный закон распределения, а для - нормальный. Дисперсия суммы не исключенных остатков систематической погрешности (НСП) определяется как сумма дисперсий не исключенных остатков:

. . . . . . . . . . 6.13,

где m₁ - число систематических погрешностей, заданных границами _kmax,

m₂ - число систематических погрешностей, заданных СКО .

Не все составляющие НСП играют одинаковую роль или вносят одинаковый вклад в суммарную НСП. Отдельные составляющие вносят пренебрежительно малый вклад в суммарную погрешность, и ими можно пренебречь. Пользуясь правилами округления и, учитывая, что погрешность выражается не более чем двумя значащими цифрами, можно ввести такое условие, при котором можно пренебречь к-ой составляющей НСП:

. . . . . . . . . . . . . . 6.14,

где - суммарная погрешность результата измерения.

Значение 1,05 получено из условия округления 1,049999...

. . . . . . . . . . . . (5.15);

для исключения погрешностей должно выполняться условие:

т.е. или . . . . . . .(5.16).

Это условие легко распространяется на случай нескольких составляющих, которыми можно пренебречь:

. . . . . . . . . . . 6.17.

Если обнаружена систематическая погрешность и определен закон ее распределения, для ее исключения вводятся поправки с обратным знаком в полученный ряд результатов измерений.

В общем случае, как это было показано ранее, результаты измерения могут содержать систематическую , случайную и грубую погрешность. Результаты измерений, содержащие систематическую погрешность, в литературе обычно обозначаются знаком «´». Учитывая это обозначение, можно представить результат измерения следующим образом:

= . . . . . . . . . . . . .(5.18).

Введя поправку ν_i= - в каждый результат измерения, получим так называемый исправленный ряд результатов измерений X₁,X₂, X_i,, где X_i= , поскольку предполагается, что грубые погрешности уже исключены.

Затем вычисляется среднее арифметическое значение результатов измерений: . . . . . . . . .(6.19).

После этого вычисляется оценка среднего квадратического отклонения результата измерений по следующей формуле:

σ= . . . . . . . . . (6.20).

Затем вычисляется оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического значения σ_х

σ_х= . . . . . (5.21).

В случае, если число измерений n≤15, принимается нормальный закон распределения результатов измерений и СКО. При n > 50 осуществляют проверку принадлежности этих параметров к нормальному закону с помощью критерия ω² или χ².

Если 15 < n ≤ 50, то обычно используют составной критерий (ГОСТ 8.207-76).

Сущность составного критерия состоит в том, что в первой его части на основании экспериментальных данных определяется значение параметра d= , которое затем сравнивается с теоретическими значениями параметров и , которые берутся из таблицы указанного выше ГОСТа, или рассчитываются по следующим формулам: