5.4. Асимметрия и эксцесс

Как уже говорилось выше, в теории измерений используются третий μ₃ и четвертый μ₄ центральные моменты. Третий центральный момент характеризует степень асимметрии кривой распределения относительно математического ожидания. На практике обычно используют не сам момент, а безразмерный коэффициент асимметрии ρ_к = μ₃/σ_х³.

При одномодальном распределении, если ρ_к >0 асимметрия положительна, т.е мода Мо(Х) находится слева от математического ожидания М(Х) (см. рис. 5.5), и отрицательна (ρ_к<0), т.е мода Мо(Х) находится справа от математического ожидания М(Х) (см. рис. 5.6).

Мо(Х)

Рис. 5.5 Рис. 5.6

При симметричном распределении ρ_к=0.

Как уже говорилось, четвертый центральный момент μ₄ характеризует свойство островершинности кривой распределения. На практике обычно используют не сам момент, а безразмерную величину, так называемый коэффициент эксцесса (или просто эесцесс) коэффициент асимметрии Е_х= ( μ₄/σ_х⁴)-3 . . . .(5.23).

При симметричном одномодальном распределении эксцесс обычно положителен (Е_х>0), если кривая распределения островершинна, и отрицателен, если (Е_х<0) кривая распределения плоковершинна (см. рис. 5.6). Если Ех=0, то кривая распределения соответствует нормальному закону.

Рис. 5.6

По коэффициентам асимметрии и эксцесса можно сделать допущение, например, о нормальности распределения изучаемой случайной величины. Однако это требует строгой проверки. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под моментом ряда распределения (или просто моментом) дискретной случайной величины относительно начального значения х = а?

2. Что понимается под моментом ряда распределения (или просто моментом) непрерывной случайной величины относительно начального значения х = а?

3. Что такое начальные и центральные моменты ряда распределения случайной величины?

4. Математическое ожидание, его свойства.

5. Дисперсия. Как определяется дисперсия для непрерывной и дискретной случайных величин?

6. Свойства дисперсии.

7. Что такое среднее квадратическое отклонение?

8. Как определяется суммарное среднее квадратическое отклонение?

9. Как влияет число наблюдений на размер среднего квадратического отклонения?

10. Что понимается под математическим ожиданием дискретной и непрерывной случайной величины?

11. Свойства математического ожидания.

12. Что понимается под модой и под медианой распределения случайной величины?

13. Дисперсия и ее свойства.

14. Асимметрия и эксцесс.

15. Что такое коэффициент асимметрии функции распределения и как изменяется вид кривой в зависимости от его знака?

5.5. Законы распределения случайной величины

5.5.1. Нормальный закон распределения.

В различных отраслях науки и техники, а также метрологической практике закон нормального распределения (или просто нормальный закон) нашел наибольшее применение. Этому закону подчиняются многие случайные непрерывные величины. Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина Х представляет собой сумму взаимно независимых случайных величин х₁, х₂, …, x_n, влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам распределения подчиняются каждое из слагаемы x_n, сама величина Х будет иметь распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых.

Дифференциальная функция распределения или плотность вероятности распределения случайной непрерывной величины, подчиняющейся нормальному закону, имеет вид:

p_x(x)= exp = · - для результатов наблюдений .(5.24),

p_( )=  - для случайной погрешности . . . . . . .(5.25),

где х – переменная случайной величины (результат наблюдений),

σ_х, σ_Δ – среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений случайной составляющей их погрешности,

m_x-математическое ожидание.

е – основание натуральных логарифмов, е = 2,71828.

Следует помнить, что

Дифференциальная функция нормального распределения графически выражается в виде колоколообразной кривой (кривая Гаусса), представленной на рис. 5.7.

Функция Ф(Х) нормированного нормального распределения (интеграл Гаусса) в табличном виде представлена в приложении А.

Рис. 5.7

Как видно на рис. 5.7, кривая нормального распределения случайной величины х результатов измерений симметрична относительно математического ожидания.

Если х – результаты многократных наблюдений одной и той же детерминированной физической величины, то указанная выше кривая симметрична относительно математического ожидания результатов этих наблюдений.

Как уже говорилось ранее, если в качестве случайной величины принята случайная погрешность со средним квадратическим отклонением σ_Δ, эта кривая симметрична относительно оси ординат (см. рис. 5.8).

Рис. 5.8

Положение кривой Р_х(х)=f(x) относительно начала координат определяется значением математического ожидания. Причем, обычно на практике берется не математическое ожидание, а среднее арифметическое результатов многократных наблюдений .

Форма кривой нормального распределения определяется параметром σ. Как было показано ранее, чем меньше σ – тем более островершинной становится кривая, а ее ветви сближаются (см. рис. 5.4).

Вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [x₁, x₂] равна площади под кривой нормального распределения, ограниченной нижней x₁ и верхней x₂ границами доверительного интервала (рис. 5.9).

Р_х(х)

Рис. 5.9

Выразим это математически:

P = dx = = exp- dx.. . . . (5.26).

Производя замену переменных t= , t₁= , t₂= и их подстановку, получим:

P{x₁Xx₂}= exp(- )dt = [ exp(- )dt- exp(- )dt].. . .(5.27).

В теории вероятности и метрологии для определения вероятности попадания наблюдений в некоторый интервал применяется так называемая нормированная функция Лапласа Ф(Z)= exp(- )∙dt, которая табулирована. Условия нормирования заключаются в том, значение среднего арифметического результатов измерений принимается равным нулю, а среднее квадратичное отклонение =1. В этом случае параметром является величина . Значения функции Лапласа приведены в приложении Б. Используя функцию Лапласа, можно следующим образом определить вероятность попадания результата наблюдения Х в интервал (x_1,x₂):

Р{x₁Xx₂}=Ф(t₂)-Ф(t₁)=Ф( )-Ф( ).. . . (5.28).

Приведенное выражение говорит о том, что вероятность попадания результата наблюдения в заданный интервал [x₁, x₂] равна разнице значений функции Лапласа в точках верхней и нижней границ доверительного интервала.

При рассмотрении этой формулы следует иметь в виду, что: Ф(-Z)=1-Ф(Z).

Моменты функции распределения случайной погрешности , распределенной по нормальному закону:

М[ ]=m_x=0; D[ ]= ;

_к= =0; Е_х= -3=0.. . . . . . (5.30).

Интегральная функция нормального распределения, представленная на рис. 5.10, выражается через дифференциальную следующим образом:

F(X)= . . . . (5.31).

X

Рис. 5.10