Контрольные вопросы

1. Дифференциальная функция распределения результатов измерений и случайной погрешности, подчиняющаяся равномерному закону. Аналитическая зависимость, график и область определения.

2. Моменты функции распределения, подчиняющейся равномерному закону.

3. Интегральная функции равномерного закона.

5.5.3. Наиболее часто применяемые законы распределения случайных погрешностей

Дифференциальные функции распределения случайных погрешностей могут подчиняться различным законам. На практике подавляющее число этих функций достаточно хорошо описываются четырьмя законами распределения.

В связи с этим в метрологической практике для описания случайных погрешностей обычно используют ограниченный набор стандартных аппроксимирующих функций распределения: нормальную, равномерную, по треугольнику, по трапеции.

Нормальную функцию распределения имеют следующие случайные величины:

1. Погрешности, складывающиеся из достаточно большого числа (можно считать, что более 5) независимых составляющих при отсутствии доминирующей составляющей.

2. Флуктуационные погрешности разного рода.

3. Случайные погрешности средств измерений.

Равномерные функции распределения имеют:

1. Погрешности результатов наблюдений, округленных в ближайшую сторону отсчетов с неточностью целого (или долевого) деления шкалы.

2. Погрешность приближенных вычислений с округлением до ближайшей значащей цифры.

3. Погрешности регулировки в допустимых пределах а.

4. Люфтовые погрешности.

5. Погрешности от изменения температуры в допустимых пределах.

6. Вариация показаний измерительных приборов.

Треугольные функции распределения (по Симпсону) имеют погрешности измерений длины, угла, интервала времени по двум отсчетам (начало-конец).

По этому закону распределены, например, погрешности суммы или разности двух равномерно распределенных величин. Если например, отклонения размеров отверстия и вала распределены в пределах их допусков равномерно, а допуски вала и отверстия примерно одинаковы, то зазоры в пределах их допуска будут распределены по закону треугольника.

Аналитические зависимости, области определения, соотношения между параметрами и графики наиболее часто используемых законов распределения представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Наиболее часто применяемые законы распределения

Закон распределения	Аналитическая зависимость	Область определения	Соотношения между параметрами	График функции
Нормальный		х  а	а = 3
Равномерный		х  а	a=1,73
Треугольный		х а	a=2,45
Трапециевидный			а=2,32

Наиболее распространенной функцией распределения случайной погрешности является нормальная функция (функция Гаусса). При обработке результатов наблюдений при априорно неизвестном законе распределения случайных погрешностей проводят проверку нормальности распределения результатов наблюдений. Для этого используют методы проверки статистических гипотез. Поскольку проверка статистических гипотез основывается на опытных данных, то при принятии решения всегда возможны ошибки.

Когда отвергается в действительности верная гипотеза, то совершается ошибка первого рода.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости q: q=1-,где  - вероятность правильного принятия верной гипотезы.

Когда принимается в действительности неверная гипотеза, то совершается ошибка второго рода. В общем случае вычислить ее вероятность нельзя. Однако при уменьшении вероятности ошибки первого рода вероятность ошибки второго рода увеличивается. Поэтому не имеет смысла выбирать слишком низкий уровень значимости q. Обычно на практике q принимают в пределах (1...5)%. Критерии проверки статистических гипотез приводятся в справочной литературе по теории вероятностей и в нормативных документах по метрологии, в частности, в ГОСТ 8.207 «ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения».

Контрольные вопросы

1. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется нормальному закону?

2. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется равномерному закону?

3. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется треугольному закону?

4. Распределение каких случайных величин, как правило, подчиняется трапециидальному закону?

5.Ошибки первого и второго рода.