Теорема Гаусса
Пример 1. Электрическое поле точечного заряда (рис. 1П).
Найдем напряженность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстояние r от заряда. С этой целью через заданную точку проведем сферическую поверхность радиусом r, полагая, что заряд находится в центре сферы.
Рис. 1П. К определению поля точечного заряда
Элемент
поверхности сферы
перпендикулярен
поверхности сферы и направлен в сторону
внешней нормали, т.е. векторы
и
в
каждой точке сферы совпадают по
направлению
Напряженность поля:
Откуда
где C – постоянная интегрирования.
Пример
3.
После бесконечно длинной однородно
заряженной оси (рис.5П), линейная плотность
заряда
,
среда ε.
Под заряженной осью понимают тонкий, теоретически бесконечно длинный металлический проводник.
Под линейной плотностью заряда τ понимают заряд, приходящийся на единицу длины оси.
Для нахождения напряженности поля в некоторой точке, удаленной на расстояние r от оси, проведем через точку цилиндрическую поверхность так, чтобы ее ось совпала с заряженной осью (рис. 5П).
Рис. 5П. К определению поля заряженной оси
Используем теорему Гаусса, которая применима к замкнутой поверхности (боковая поверхность цилиндра и два его основания.
Заряд
отрезка оси длиной
равен
В силу симметрии существует только
радиальная составляющая напряженности
Е = Еr.
Интегрируем по коаксиальным
цилиндрам радиуса r
и
длиной
l.
С
торцов цилиндра потока нет:
.
(7
б.)
Потенциал изменяется по экспоненциальному закону.
Пример 4. Поле двух параллельных заряженных осей.
Пусть одна ось имеет линейный заряд + τ, а другая – - τ. Возьмем в поле некоторую произвольную точку М (рис. 6П).
Рис. 6П. Поле двух заряженных осей
Результирующая
напряженность поля в точке М
равна
геометрической сумме напряженностей
от обоих зарядов. Потенциал – функция
скалярная, и он равен сумме потенциалов
от каждой оси
Уравнением эквипотенциали в поле двух заряженных осей является выражение b/a = const, т.е. эквипотенциаль представляет собой совокупность точек, отношение расстояний которых до двух заданных точек есть величина постоянная. Из геометрии известно, что такой совокупностью точек является окружность. Для ее построения соединим точку М с осями. Проведем биссектрису внутреннего (aMb) и внешнего (pMa) углов. Точки 1 и 2 пересечения биссектрис с линией, проведенной через заряженные оси, и точка М будут тремя точками окружности. Для нахождения положения центра окружности (точки О) разделим пополам расстояние между точками 1 и 2.
Пример 5. Поле двухпроводной линии
Рассмотрим поле двухпроводной линии (рис. 7П).
Заряды проводов по поверхности распределены с неодинаковой плотностью.
Рис. 7П. К рассмотрению поля двухпроводной линии
Задача о поле двухпроводной линии может быть сведена к задаче о поле двух заряженных осей.
Пусть заряженные оси будут расположены в точках m и n. Из условия симметрии они удалены на одинаковое расстояние x от геометрических осей проводов О2 и О1.
Для
точки 1 отношение b/a
будет
,
для точки 2 –
.
Из
равенства
получим
.
Знак минус перед радикалом соответствует положению точки n, знак плюс – точке m.
Точки m и n называют электрическими осями проводов. Их можно получить геометрическим построением. Проводится линия, параллельная линии, соединяющей оси проводов и касательная к поверхности проводов. Через точки касания поводится окружность диаметром d. Пересечение этой окружности с линией соединяющей оси проводов даст положение электрических осей.
Определим емкость двухпроводной линии
;
;
;
.
Пример 6. Поле заряженной оси, расположенной вблизи
проводящей плоскости.
Ось расположена параллельно плоскости на расстоянии h от нее (рис. 8П). Требуется определить характер поля в диэлектрике.
В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x. Поле в диэлектрике создается всеми зарядами.
Для расчета поля в проводящую среду помещают фиктивный заряд на расстоянии h. При этом среда по обе стороны границы считается однородной (рис. 8П).
Проводящая поверхность эквипотенциальна (φ = const). Тогда потенциал ее равен
.
Рис. 8П. Ось вблизи проводящей поверхности
При этом изменение потенциала вдоль поверхности
.
Следовательно,
граничным условием будет
.
Рис. 9П. Расчетная схема
Тогда
.
Отсюда
.
Потенциал в любой точке верхней полусферы будет равен
где r– – расстояние до отрицательно заряженной оси,
r+ – расстояние до положительно заряженной оси.
Потенциал провода
,
где r0 – радиус провода.
Разность потенциалов
.
Емкость провода
Емкость провода относительно земли в два раза выше емкости двухпроводной линии.
Распределение заряда на границе раздела диэлектрика и проводника
Пример 7. Поле заряженной оси, расположенной вблизи
границы раздела двух диэлектриков.
Рассмотрим поле оси, расположенной на расстоянии h от границы раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2 (рис. 10П).
Вследствие поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влияющие на поле в обеих средах. Учет их влияния на поле проводят путем введения двух дополнительных зарядов τ2 и τ3 (рис. 11П).
Рис. 10П. Ось, расположенная вблизи раздела диэлектриков
Рис. 11П. Расчетная схема поля
Расчет поля в верхней полусфере ведется от двух зарядов: реального τ1 и фиктивного τ2, расположенных симметрично относительно границы раздела, причем среда всюду имеет диэлектрическую проницаемость ε1.
Расчет поля в нижней полусфере ведется от заряда τ3, расположенного в той же точке, что и τ1. Среда при этом всюду имеет проницаемость ε2.
Граничные условия реальной задачи
В данном случае
,
.
Откуда
Решая эту систему, получим
.
Знак заряда τ2 совпадает со знаком заряда τ1, если ε1 > ε2. Знак заряда τ3 всегда тот же, что и знак τ1.
Пример 8. Поле двухпроводной линии над поверхностью земли.
Для расчета поля введем две дополнительные оси. Определим потенциал произвольной точки M (рис. 12П).
Потенциал произвольной точки от заряженной оси
В данном случае
(1)
или
,
где α1М
и α2M
– потенциальные коэффициенты, зависящие
от характера среды и расположения
проводов. Уравнение показывает, что
потенциал прямо пропорционален заряду.
Рис. 12П. К расчету поля двухпроводной линии в произвольной точке
Потенциалы проводов можно записать в виде
(2)
Эти уравнения называются первой группой формул Максвелла.
С учетом расстояний, показанных на рис. 13П, потенциальные коэффициенты можно определить по формулам:
Рис. 13П. Размеры картины поля с учетом размера проводов
(3)
Коэффициент α11 численно равен потенциалу φ1, когда на первом проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.
Коэффициент α12 численно равен потенциалу φ1, когда на втором проводе находится единичный заряд, а на других проводах заряд отсутствует.
Аналогично можно описать другие потенциальные коэффициенты.
Решив систему (1) относительно зарядов, получим вторую группу формул Максвелла.
(4)
Коэффициенты β называют емкостными коэффициентами. Их размерность обратна размерности потенциальных коэффициентов. Коэффициенты с одинаковыми индексами положительны, а с разными – отрицательны.
Если ввести частичные емкости между проводами линии и землей (рис. 14П), то заряды можно записать в виде
или
(5)
Емкости C11, C22 называются собственными частичными емкостями, C12 и C21 – взаимными частичные емкости.
Из сравнения систем (3) и (4) видно, что
Рис. 14П. Частичные емкости линии
Откуда следует, что
,
Если к проводам подведено напряжение U от незаземленного источника, то провода заряжаются так, что
,
или
.
В этом случае можно говорить о рабочей емкости линии
.
Подставив
значение
в
уравнение (5) получим
При этом рабочая емкость будет равна
(6)
Согласно (3)
Подставив эти значения в (6) получим
(7)
Величина
определяет
влияние земли на величину емкости. Так
как
,
то близость земли увеличивает емкость
системы двух проводов.
Пример 10. Поле плоского конденсатора
Рассмотри плоский конденсатор (рис. 15.17а). Расстояние между пластинами конденсатора – d. К обкладкам приложено напряжение – U. Свободные заряды между пластинами отсутствуют. Требуется рассчитать поле между пластинами.
Рис. 15.17. Поле плоского конденсатора при отсутствии зарядов
Поле при отсутствии в расчетной области свободных зарядов подчиняется уравнению Лапласа:
.
В общем случае это уравнение записывается
Если предположить, что в направлении осей y и z поле не меняется, то уравнение упрощается:
После интегрирования получаем
Постоянные интегрирования находятся из граничных условий.
Без нарушения картины распределения поля можно принять потенциал одной из пластин, равным нулю. Тогда потенциал другой будет равен приложенному напряжению. При x = 0 потенциал φ = U; а при x = d – φ = 0:
;
;
.(15.44)
Следовательно, между пластинами потенциал линейно уменьшается от величины U до нуля (рис. 15.17б).
Напряженность поля
(15.45)
Напряженность поля не зависит от координаты x и численно равна U/d.
Пример11 . Поле плоского конденсатора при наличии свободных
зарядов.
Рассмотрим поле конденсатора, когда между пластинами имеются свободные заряды плотностью ρ (рис. 15.18).
Рис. 15.18. К расчету поля конденсатора при наличии свободных
зарядов между пластинами
Поле между пластинами подчиняется уравнению Пуассона
Допустим, что поле по осям y и z не изменяется. Тогда
(15.46)
После интегрирования получим
Общее решение уравнения (15.46)
(15.47)
Граничные условия в этом случае те же, что и в предыдущей задаче. При x = 0 потенциал φ = U, а при x = d – φ = 0:
;
Потенциал изменяется по закону
(15.48)
Напряженность поля
Модуль напряженности
(15.49)
Напряженность поля при наличии свободных зарядов не постоянна. Она прямо пропорциональна расстоянию от начала отсчета по оси x.
ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ (рис.28).
Дано:
расстояние между геометрическими осями
проводов
,
радиус провода
.
Поверхности реальных проводов являются поверхностями равного потенциала.
В поле двух заряженных осей поверхностями равного потенциала являются цилиндры, оси которых не совпадают с осями проводов. Поэтому для того, чтобы поле реальных проводов заменить полем заряженных осей, необходимо найти положение этих осей, т.е. найти так называемые электрические оси.
Центр
окружности равного потенциала, совпадающей
с поверхностью провода, лежит на
расстоянии
от
начала координат, радиус ее
.
H H
-τ h h +τ
r
r
Рис. 28
В соответствии с (46) и (46а):
;
;
Нетрудно
показать, что
Выразим
Н и r
через
:
Отсюда следует, что половина расстояния между электрическими осями
Выразим
коэффициент «к» через
Т.к.
;
то
.
Получаем квадратное уравнение относительно «к».
Решаем
его
«
»
величина положительная, поэтому
отрицательный корень необходимо
отбросить. Учитывая, что
,
получаем
Потенциал поверхности провода:
Знак плюс следует брать для провода с положительным зарядом.
Разность потенциалов – напряжение между проводами:
Емкость на единицу длины проводов:
Для тонких проводов можно считать, что h=H.
ПРИМЕРЫ
1.Шаровой заземлитель,(рисунок 38а) закрытый в землю настолько глубоко, что влияния поверхности земли можно пренебречь.
Ёмкость
уединенного шара С=π4Er,
следовательно проводимость заземления
G=
=4πƔr.
2. Полушатровой заземлитель (рисунок 38б). Пользуясь методом зазелительных изображений C=2πEr и G=2πƔr
Рис. 38б
3. Цилиндрический заземлитель(рисунок 39) Труба длиной е и диаметром 2r.
Строим зеркальное изображение:
Ёмкость
цилиндра длиной 2е =
Ёмкость
цилиндра длиной е =
Проводимость
заземления G=
Пример . Поле плоских электродов с объёмным зарядом.
В вакууме на расстоянии 2 см друг от друга расположены два плоских электрода (рис. ).
Правый электрод заземлён, а левый соединён с плюсом батареи, ЭДС которой 200 В. Отрицательный зажим батареи заземлён. В пространстве между пластинами распределён объёмный заряд с плотностью ρ = аε0х, где а = -30 кВ/см3, х – расстояние от левой пластины. Найти закон изменения потенциала в пространстве между электродами.
Считаем, что размеры электродов много больше расстояния между ними. Следовательно, потенциал будет зависеть только от координаты х. Задачу решаем интегрированием уравнения Пуассона:
d2φ/dx2 = -ρ/ε0 =ax.
Проводим двукратное интегрирование по х:
dφ/dx =ax2/2 + C1;
φ = ax3/6 + C1x + C2.
Постоянные интегрирования С1 и С2 определяем из граничных условий:
при х = 0 φ = 200 В и С2 = 200 В;
при х = 2 φ = 0 В, С1 = -20100 В/см.
Следовательно,
Φ = 5000х3 - 20100х + 200, В.
Пример: поле коаксиального кабеля (рис. ), длина l, линейная плотность заряда τ, заряд q = τl расположен на проводящей жиле.
ε1 ε2
Рис.
Выделим цилиндрическую поверхность радиуса r длиной l. Поток электрического смещения
.
Ввиду симметрии системы D =const и вектор D нормален к выделенной поверхности. Следовательно,
или
.
Напряженность поля в k- слое
Ek
=
.