2. Электрическое поле постоянного тока

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ

Если под действием внешних источников в проводящей среде создано электрическое поле, то в ней будет протекать электрический ток i.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Электрическим током называется явление движения заряженных частиц и явление изменения электрического поля во времени, сопровождаемое изменением поля магнитного. Термин электрический ток применяется также для характеристики интенсивности этих явлений.

Электрический ток сквозь некоторую поверхность равен пределу отношения заряда, переносимого заряженными частицами сквозь эту поверхность в течение некоторого промежутка времени, к этому промежутку времени, когда последний стремится к нулю.

= = . (37)

Проще говоря, ток равен количеству электричества, протекающему через данную поверхность в единицу времени. Если i = const, то его называют постоянным током и обозначают I, единица измерения – А.

Электрический ток – скаляр алгебраического характера, он характеризует суммарную величину, зависящую от перемещения многих зарядов. Направление движения зарядов в разных точках поверхности может быть различным. Однако для очень малого элемента поверхности направление движения зарядов можно считать вполне определенным.

Векторная величина – плотность тока δ имеет направление, совпадающее с направлением движения положительно заряженных частиц и обратное направлению движения отрицательно заряженных частиц.

Плотность тока равна пределу отношения тока через некоторый элемент поверхности, нормальный к направлению движения заряженых частиц, к этому элементу, когда последний стремится к нулю.

δ = = ; (38)

Ток через элемент, составляющий с вектором плотности тока угол β, равен (рис. 18)

d = δ cosβ dS = δ dS.

Рис. 18

Следовательно, ток через поверхность S равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность:

= . (39)

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока.

Если поперечные размеры проводника малы, то можно считать что β = 0 и

= δ S. (39а)

Линиями тока называется линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора плотности тока.

При протекании постоянных токов как внутри проводящих тел, так и вне их существуют постоянные магнитные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не возникает явление электромагнитной индукции. Следовательно, магнитное поле постоянного тока не оказывает влияния на электрическое поле постоянного тока

Электрический ток по своей физической природе делится на ток проводимости, ток переноса и ток смещения (последний может возникнуть только в переменном электрическом поле и будет рассмотрен в соответствующем разделе).

Ток проводимости

Ток проводимости понимается как движение свободных зарядов в проводящих средах – металлах (свободные электроны) и жидкостях (ионы).

При данной напряженности поля и температуре вещества заряды приобретают определенную скорость. Это объясняется тем, что кинетическая энергия зарядов передается атомам вещества и превращается в тепловое движение. Таким образом, плотность тока при постоянной температуре оказывается пропорциональной напряженности поля

δ = γE, (40)

где γ – удельное электропроводность вещества. Это свойство среды, характеризующее её способность проводить ток.

Удельная проводимость γ зависит от физических свойств проводящего материала и температуры, единица измерения См/м.

Зависимость (60) называется законом Ома в дифференциальной форме. Она справедлива для областей вне источников ЭДС.

В областях, занятых источниками ЭДС, кроме электростатического поля существует так называемое стороннее электрическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в электрической цепи. Под сторонним электрическим полем понимают электрическое поле, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми, термоэлектрическими процессами.

В областях, занятых источниками ЭДС, полное значение напряжённости электрического поля равно геометрической сумме напряжённостей кулонова Е и стороннего Е_стор полей, т.е Е + Е_стор.

Линейный интеграл от сторонней напряжённости поля внутри источника называется ЭДС источника е:

e = .

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделение электрических зарядов. Эти заряды внутри и вне источника создают электрическое поле, напряжённость которого, как и напряжённость электростатического поля, направлена от положительных зарядов к отрицательным. Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему. Вне источника кулоново поле направлено от положительного электрода к отрицательному. Под действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области вне источника. При протекании тока по цепи , при разомкнутой цепи .

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками ЭДС, записывают следующим образом:

. (41)

Уравнение (41) называют обобщённым законом Ома в дифференциальной форме или вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

Ток переноса

В средах, не обладающих электропроводностью (газы, вакуум), может существовать ток переноса, ток конвенции, т.е. могут двигаться отдельные заряженные частицы. Торможение частиц отсутствует и движение происходит равноускоренно под действием силы

f = qE.

Выразим плотность тока переноса через среднюю объемную плотность заряда движущихся частиц ρ и их скорость υ. Для этого выделим в пространстве параллелепипед (рис. 19) длиной d и поперечное сечение dS. В нем заключен заряд dq=ρd dS.

Рис. 19

Этот заряд пройдет через поверхность dS за отрезок времени dt = ; следовательно ток через поверхность dS d = = ρVdS. Плотность тока переноса

δ = = ρυ. (42)

ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

И ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Если в проводящей среде выделить некоторый объём, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно утверждать, что заряд, который войдёт в объём, должен равняться заряду, вышедшему из него. Поэтому для постоянного тока

(43)

Это и будет интегральной формой записи первого закона Кирхгофа, говорящего о том, что вне источников линии тока непрерывны.

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени тока в проводящей среде будет справедливо равенство

divδ = 0, (44)

или для узла

=0.

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме при постоянном токе в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости δ.

Если ток переменный, то

div δ= - . (45)

Это уравнение также является первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ - ПОЛЕ

ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ

По своей природе поле электростатическое – это поле неподвижных зарядов. Поле постоянного тока – это поле подвижных зарядов, и, следовательно, природа полей различна. Тем не менее между этими полями можно провести формальную аналогию.

При постоянном токе распределение зарядов в проводнике должно быть стационарным, т.е. неизменным во времени. Первый закон Кирхгофа говорит о том, что в любой момент времени количество зарядов, входящее в некоторый объем проводника, равно количеству зарядов, выходящему из этого объема. Поэтому каждый элемент проводника содержит постоянно одно и то же количество зарядов. Электрическое поле стационарно распределенных зарядов тождественно с полем неподвижных зарядов, т.е. с электростатическим полем. Следовательно, электрическое поле постоянного тока - поле потенциальное.

В обоих полях имеют дело с вектором напряжённости электрического поля Е. Напряжённость электрического поля в проводящей среде, как и в электростатическом поле, Е = - gradφ. Если среда однородна и изотропна, т.е. γ = const, то

∇²φ = Δφ = 0.

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде является полем потенциальным и в областях, не занятых источниками,

В любой точке его, находящейся вне источников, rotE = 0.

С вектором электрического смещения D = ε_аЕ можно сопоставить вектор плотности тока δ = γЕ. С потоком вектора D Ψ = можно сопоставить поток вектора плотности тока I = .

Граничные условия на границе раздела диэлектрик-диэлектрик

E_1t = E_2t ; D_1n = D_2n.

Граничные условия на границе проводник-проводник

E_1t = E_2t; δ_1n = δ_2n. (46)

Оба поля подчиняются уравнению Лапласа и в них тождественные граничные условия.

Следовательно, на основании теоремы единственности можно сказать, что совокупность силовых и эквипотенциальных линий в этих двух полях, т.е. картина поля будет одинакова.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ, ОКРУЖАЮЩЕМ ПРОВОДНИКИ С ТОКОМ

Уравнения электрического поля в диэлектрике такие же как поля, создаваемого неподвижными зарядами, т.е. поля электростатического:

rot Е = 0 или E = -gradφ; D = εE; divD = ρ.

Если объемные заряды во внешнем пространстве отсутствуют, то divD = 0 и все эти уравнения сводятся к уравнению Лапласа Δφ = 0.

Отличие от электростатического поля заключается только в граничных условиях на поверхности проводника. В электрическом поле линии поля перпендикулярны к поверхности проводника, т.к. она является поверхностью равного потенциала. В поле стационарном поверхность проводника не может иметь равный потенциал, т.к. по проводникам течет ток.

Внутри проводника существует электрическое поле, напряженность которого вызывает ток и совпадает по направлению с плотностью тока. Таким образом, на поверхности проводника существует касательная состоящая напряженности поля (рис. 20).

Рис. 20

Однако, в большинстве случаев величина касательной составляющей в миллион раз меньше нормальной составляющей . Поэтому с достаточной для практики точностью можно пренебречь касательной составляющей и считать напряженность поля нормальной к поверхности проводников. Поэтому расчет и построение картины стационарного электрического поля в диэлектрике ничем не отличается от поля электростатического.

ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА

Причиной создания электрического поля является либо изменение магнитного поля, либо посторонний источник, превращающий энергию какого-либо вида (механическую, химическую, тепловую и т.п.) в электрическую. Электрическое поле, обусловленное изменением магнитного поля, называется индуктивным. Она будет рассмотрено в дальнейшем. Электрическое поле, вызванное неэлектромагнитным процессами, называется сторонним.

Электрическое поле внутри проводника может состоять из двух частей

E = + ;

Под понимается напряженность поля, создаваемая электрическими зарядами, под - напряженность индуктированного или стороннего поля.

Линейный интеграл вдоль некоторого пути называется электродвижущей силой:

е = d . (47)

Линейный интеграл полной напряженности поля вдоль некоторого пути называется электрическим напряжением между двумя точками.

U= d . (47a)

Величины интегралов (63) и (63а) зависят от пути интегрирования, т.к. существенным обстоятельством является то, проходит ли путь через источник или нет. Как известно, разность потенциалов

- = d

от пути интегрирования не зависит. А т.к. поле стационарное и статическое тождественны, то под можно понимать и .

Рассмотрим замкнутый контур, включающий в себя источник (рис. 36).

= + .

Отрезок пути “амб” через источник не проходит, поэтому на нем E = ; = = - .

Путь “бна” идет через источник E = + ;

= + = + ;

равен ЭДС источника е.

Обходя по замкнутому пути, получаем:

= + + = + ;

а т.к. = 0, то = е. (48)

Второй закон Кирхгофа говорит о том, что интеграл вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура равен электродвижущей силе, действующей в этом контуре. Если путь интегрирование в проводящей среде не проходит через источник, то

=0 или rot E = 0.

Если источник разомкнут, то внутри его тока нет, а значит и нет поля, т.е. Е = 0. В тоже время разность потенциалов или напряжение на разомкнутых зажимах источника равно ЭДС источника, т.е.

- = е (49)

ЗАКОН ОМА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Вычислим напряжение между двумя точками, расположенными в проводящеё среде

U =

По закону Ома в дифференциальной форме плотность тока δ = γE или

E = δ/γ;

U = ; δ = ; U = dl ;

интегрируем вдоль бесконечно тонкой трубки тока, по всей длине которой di = const. Тогда

U =di .

Если сечение трубки и удельная проводимость неизменны, то

U = = di ;

Откуда di = U ;

Ток i через поверхность S

i = ds = U

Назовем электрическим сопротивлением проводника.

Тогда i = .

Закон Ома в интегральной форме говорит о том, что ток в проводника пропорционален приложенному напряжению.

Используя полученную формулу записи закона Ома, можно несколько иначе записывать второй закон Кирхгофа Т.к. равен сумме падений напряжения на всех участках замкнутого контура т.е. равен , а эдс следует понимать как сумму эдс всех включённых в контур источников, то

ЗАКОН ЛЕНЦА-ДЖОУЛЯ

Работа совершаемая силами поля на участке проводника

dA = φdq = Udq.

Эта работа затрачивается на поддержание тока в цепи и выделяется в проводнике в виде тепла.

Мощность, необходимая для проведения тока в проводнике

P = =

Мощность равна произведению тока на напряжение.

Вычислим мощность P^/, выделяемую в единицу объёма проводника. Для отрезка трубки тока длиной dl и сечение ds мощность

dP = dUdi=Edl*δds=Eδdv,

где dv=dl*ds – объём. Следовательно,

Р^/ = = Е γЕ = γЕ². (50)

Удельная мощность равна произведению напряженности электрического поля на плотность тока – закон Ленца -Джоуля в дифференциальной форме.

ПОЛЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА В ПРОВОДЯЩЕЙ

СРЕДЕ

В проводящей среде вне источников поле электрического тока описывается законом Ома

δ = γE,

первым законом Кирхгофа

div δ = 0

и вторым законом Кирхгофа

rot Е = 0,

говорящем о том, что вне источника поле тока потенциальное.

Полученные уравнения аналогичны уравнениям электростатического поля:

D = εE, divD = 0(вне объёмных зарядов)

и

rotЕ = 0,

если вектор смещения D заменить плотностью тока δ и диэлектрическую проницаемость ε удельной проводимостью γ. В уравнениях, записанных в интегральной форме i = , а так же i = и Q = CU следует заряд Q заменить током I, а емкость С проводимостью G.

При аналогии уравнений условием подобия полей является совпадение граничных условий. В электростатическом поле вектор электрического смещения нормален у поверхности проводников. Покажем, что в поле тока вектор плотности тока примерно перпендикулярен границе между хорошо и плохо проводящими средами т.е. нормален поверхности проводников (рис. 21, а, б)).

На рисунке (37) линия ОО есть граница раздела сред. Возьмем на границе раздела плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41, длину которых обозначим dl. Пренебрежем составляющими интеграла вдоль коротких сторон

, .

Это соотношение совпадает с соотношением на границе раздела двух диэлектриков.

Рис. 21а

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов.

Рис. 21б

Выделим на границе раздела сред сплющенный параллелепипед.

Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань – . Так как , то

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью остаются непрерывными тангенциальная составляющая вектора напряженности поля и нормальная составляющая плотности тока = δ.

Т.к. rotE = 0, то интеграл по контуру «1234» равен нулю

θ ab - .

Т.к. 32=14, то

.

Т.к. линии тока непрерывны, то поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю, т.е. divδ=0 и

где

Поверхности s очень малы, поле на них однородно.

учитывая, что имеем = .

Если первая среда хороший проводник, например сталь γ₁ = 5* , а второй плохой (почва γ₂ = ), то отношение = 5* и при Линии, почти касательные к поверхности, выходя из проводника становятся почти нормальными. Для меди в кабельной бумаге ( ) это соотношение выполняется ещё точнее.

Аналогия поля тока с полем электростатическим позволяет, с одной стороны, моделировать электростатическое поле с помощью электролитических ванн. С другой стороны, возможно расчет поля тока свести к уже изученному расчёту электростатического поля. Этим методом обычно производится расчёт сопротивления заземлений и утечек изоляции. Вычисляют емкость, а затем заменяя ε на γ получают расчетные формулы для проводимости.