Часть 3. Электромагнитное поле

Под переменным электромагнитным полем понимают совокупность изменяющихся во времени и взаимно связанных и обуславливающих друг друга электрического и магнитного полей. Оно определяется двумя векторными величинами – напряжённостью электрического поля Е и напряжённостью магнитного поля Н.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Электромагнитной индукцией называется явление возбуждения вихревого электрического поля при изменении магнитного потока. Электромагнитная индукция приводит к возникновению в замкнутом контуре индуктивной эдс при изменении магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Явление электромагнитной индукции было открыто Фарадеем в 1831 г. Значение этого открытия огромно, ведь на нем основана вся современная электроника и радиотехника.

Закон электромагнитной индукции был сформулирован Фарадеем следующим образом: количество электричества, протекшего в течении некоторого промежутка времени через поперечное сечение цепи индуктированного тока, равно взятому со знаком минус отношению числа единичных магнитных линий, перерезанных за это время контуром цепи, к сопротивлению цепи.

(101)

В современной формулировке это звучит:

(101а)

Количество электричества, протекшего в процессе электромагнитной индукции через поперечное сечение цепи, равно взятому с обратным знаком отношению приращению магнитного потока, сцепляющегося с контуром, к сопротивлению цепи.

Другая форма записи закона электромагнитной индукции дана Максвеллом Т. к. , а по закону Ома , то поставляя в (101а) и переходя к пределу, получаем

(102)

Эдс, индуктированная в цепи при изменении магнитного потока, проходящего сквозь поверхность, ограниченную контуром цепи, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.

Если контур имеет витков, то

(102а)

или

Назовем величину – полным потоком, сцепленным с контуром и обозначим её через

Тогда

(102б)

Знак «минус» в выражении для индуктированной эдс говорит о том, что эдс стремится вызвать токи, направленные таким образом, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока. Это положение установлено Ленцем в 1833г. как принцип электромагнитной инерции. В системе контуров и с электрическими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных потоков, сцепляющихся с отдельными контурами системы. При всякой попытки изменить потоки, сцепляющихся с контурами, в контурах возникает ЭДС, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению.

ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

Запишем закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. По определению (64) и

Подставляем эти уравнения в (102), получим

.

Т. к. в правой части интегрирование производится по поверхности, а дифференцирование по времени, то порядок действий можно изменить

.

По теореме Стокса

.

Левые части обоих полученных выражений одинаковы, следовательно, равны и правые части, а т. к. интегралы берутся по одной и той же поверхности, то равны подынтегральные выражения.

(103)

Полученное уравнение носит название второго уравнения Максвелла.

Т. к. B = rotA, то можно записать, что

(103а)

В магнитном поле на имеющейся в нем заряженные частицы действует сила f = q[VB]. На единицу заряда приходится сила

,

т. е. в среде возникает электрическое поле, напряженность которого равна

E = [VB]

Второе уравнение Максвелла в таком случае записывается в обобщенной форме

(103б)

Первое слагаемое в правой части уравнения называется трансформаторным полем, а второе – полем движения.

Необходимо отметить, что магнитные экраны не изменяют величину наводимой эдс, т. к. всё равно поле проходит через экран и хотя внутри экрана индукция меньше, но скорость движения и не изменяется.

САМОИНДУКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ

Если имеется только контур с током, то при изменении в нем тока, в нем же наводится ЭДС самоиндукции, которая по формуле (102б) равна

.

Полный поток контура определяется его же собственным током, т.е.

(104)

Величина L называется индуктивностью контура. Единица измерения генри.

Если индуктивность не меняется, то

. (105)

Если имеются несколько контуров с токами то при изменении тока в одном контуре, в соседних контурах наводится эдс взаимной индукции

или . (106)

Полный поток создаваемый первым током и сцепленный со вторым контуром

. (107)

Соответственно

. (107а)

M – взаимная индуктивность измеряется в генри.

Таким образом,

(108)

Докажем, что изменение порядка индексов не меняет значения взаимной индуктивности. Пусть имеются 2 контура (рис. 49).

Если ток течет по второму контуру, то векторный потенциал в каждой точке первого контура определяется с учетом того, что ; ; где – расстояние от элемента второго контура до элемента , первого контура. Магнитный поток, пронизывающий первый контур, в соответствии с (83) ; Взаимная индуктивность

Выражение для отличается порядком интегрирования, а т. к. он никакой роли не играет, то следовательно

. (109)

Это выражение носит название формулы Неймана и наглядно доказывает принцип взаимности для взаимной индуктивности.

ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ КОНТУРОВ С ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ

ТОКАМИ

При установлении токов в электрических цепях часть энергии, отдаваемой внешними источниками, запасается в электрических цепях и может быть частично возвращено при уменьшении токов.

Напряжение, создаваемое внешним источником энергии на зажимах какой-либо ветви, должно иметь составляющую, равную падению напряжения в сопротивлении цепи, и составляющую, уравновешивающую индуктируемую в этой цепи эдс:

Работа, совершаемая источником за время ,

Первое слагаемое представляет собой энергию, превратившуюся в тепло, второе слагаемое – это работа, связанная с изменением магнитных потоков. Обозначим её

Работа, затраченная на изменение магнитных потоков во всех контурах,

Если магнитное поле устанавливается медленно, магнитная проницаемость постоянна, контуры неподвижны и не деформируемы, то вся работа А идет на создание запаса магнитной энергии системы.

Полный поток, сцепленный с любым контуром, зависит от

, при р k.

Стр. 76 – 90

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что работа Aи энергия W_m не зависят от порядка установления токов. Для удобства вывода примем, что токи возрастают пропорционально друг другу, т.е. ; где . Тогда

,

где .

Обозначив ; имеем

или

: . . . . (110)

Энергия системы контуров с токами равна полусумме произведений токов в контурах на сцепленные с ними полные потоки. Выразив полные потоки через токи, получаем

. . . . . . . (110а)

Объёмную плотность энергии магнитного поля можно определить в поле кольцевого соленоида длиной и сечением .

Магнитный поток:

; .

Ампервитки:

,

откуда

.

Магнитная энергия

.

Объем поля соленоида

.

Объемная плотность

; : . . . (111)

Энергия неоднородного магнитного поля:

: . . . (112)

ТОК СМЕЩЕНИЯ

В переменном электрическом поле плотность зарядов внутри некоторого объема изменяется со скоростью . Ток сквозь замкнутую поверхность равен скорости убывания зарядов внутри поверхности: ; т.к. , то . Считаем, что ток представляет собой поток вектора плотности тока проводимости и переноса δ_пв:

.

Следовательно, или в соответствии с теоремой Остроградского

.

По теореме Гаусса . Заменяем плотность зарядов – дивергенцией вектора смещения.

.

Меняем порядок дифференцирования:

или

;

. (120)

Это выражение является обобщённой формой первого закона Кирхгофа.

Величина

: . . . . . . . . . . . . . . . (120а)

называется полной плотностью тока. Линии полной плотности тока непрерывны, т.к.

; . . . . . (120б)

, . . . . . . (121)

- плотность тока смещения, оценивается скоростью изменения электрического поля.

При изменении электрического поля в диэлектрике сквозь элемент поверхности смещается количество электричества .

Ток сквозь элемент поверхности:

.

Плотность тока поляризации

; : . . . . . . . . . . . . (122)

Т.к.

,

то ток смещения можно считать имеющим две составляющих – ток поляризации и ток смещения в пустоте .

: . . . . . . (123)

: . . (124)

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Все проявления электромагнитного поля описываются системой дифференциальных уравнений. Эта система состоит из:

1-го уравнения Максвелла ;

2-го уравнения Максвелла ;

выражения полной плотности тока (125)

и связей между векторами

D = εE; B = µH;

, .

Остальные рассмотренные в курсе зависимости являются следствиями этих основных уравнений.

Первое уравнение Максвелла называют законом полного тока в дифференциальной форме, второе уравнение Максвелла – законом электромагнитной индукции в дифференциальной форме.

Подставив значения δ, B и D, получаем уравнения Максвелла в следующем виде:

(126)

Совместное решение уравнений Максвелла приводит к волновым уравнениям, описывающим волнообразно распространяющиеся в пространстве процессы изменения напряженностей электрического и магнитного поля. Эти процессы называются электромагнитными волнами.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Линии полного тока являются непрерывными. Физически это означает, что что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения. Математически это записывается так:

divδ = - ; divδ + = 0;

Это уравнение называют уравнением непрерывности для зарядов и токов или законом сохранения заряда в дифференциальной форме – изменение во времени свободного заряда, находящегося в малом объёме, может происходить только за счёт перемещения заряда через поверхность, окружающую этот заряд.

В интегральной форме записи этот закон записывается следующим образом:

.

В правой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность s. В левой – изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма V. Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность s, ограничивающую объём.

В электрически замкнутой системе

ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

Переменное электромагнитное поле наблюдается при движении заряженных или намагниченных тел, при движении контуров с токами, при изменяющихся во времени зарядах или токах.

Рассмотрим переменное поле в идеальном диэлектрике, проводимость которого . Будем считать, что объемные заряды отсутствуют . В идеальном диэлектрике могут существовать только токи смещения. Поэтому два уравнения Максвелла (126) можно записать, как

;

: . . . . . (127)

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА

Рассмотрим случай распространения плоской электромагнитной волны в однородном и изотропном диэлектрике. Волна называется плоской, если все величины, характеризующие электромагнитный процесс, зависят только от одной координаты z. Это обычно имеет место в небольшой области пространства, расположенной достаточно далеко от излучающей антенны. В этом случае E и H не зависят от координат x и y и в уравнениях (127) останутся только производные по z и по времени:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) .. . . (128)

По уравнениям (128,3) и (128,6)

;

Но если поле вызвано источниками, не содержащими поcтоянных токов и постоянных зарядов, то E и H не могут иметь постоянных составляющих. Поэтому и . Вектора E и H расположены в плоскости , т.е. плоская электромагнитная волна является поперечной волной.

Выберем оси так, чтобы ось совпадала по направлению с векторомE. Тогда . По уравнению (128,4)

, .

Значит, вектор H направлен по оси y, т.е.

. . (129)

В электромагнитной волне, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике, векторы E и H взаимно перпендикулярны. При этом система (128) значительно упрощается, от нее остаются только два уравнения:

(1)

(2) . . . (130)

Разделяем переменные, для чего дифференцируем первое уравнение по t, второе по z. Затем дифференцируем первое по z и второе по t. Получаем:

(1)

(2) . . . . . (131)

Уравнения (131) называются волновыми. Они аналогичны уравнениям линии без потерь. При и уравнения длинной линии имеют вид:

; ;

или

;

Решение их было:

, где .

Аналогично для плоской волны в диэлектрике:

;

. .(132)

Первые составляющие и представляют собой прямую волну (рис.50), движущуюся вдоль оси со скоростью

: . . . . . . . (133)

Вторые составляющие это обратные волны. Скорость распространения электромагнитной волны в вакууме:

Аналогия движения электромагнитной волны в диэлектрике с распространением волн по линии без потерь не случайна, т.к. напряженность электрического поля можно рассматривать как напряжение, отнесенное к единице длины линии электрического поля. А напряженность магнитного поля – как ток, отнесенный к единице длины линии магнитного поля. Провода линии служат только направляющими для электромагнитной волны.

Отношение напряженностей и в прямой или обратной волне

: . .. . . (134)

имеет размерность сопротивления. Оно аналогично волновому сопротивлению линии без потерь.

В пустоте .

ТЕОРЕМА УМОВА-ПОЙНТИНГА

С помощью электромагнитного поля может осуществляться передача энергии на расстояние. Примером этого служит распространение радиоволн и света. Исследование процессов передачи энергии производится на основе учения о движении энергии, разработанного в применении к упругим средам Н.А. Умовым в 1874 г. К исследованию электромагнитного поля учение Умова приложил Пойнтинг в 1885г.

Рассмотрим плотность потока энергии, т.е. количество энергии, протекающее в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока энергии. Энергия электромагнитного поля состоит из суммы энергии электрического и магнитного полей.

Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

Т.к. для волны, движущейся в одном направлении , то . Следовательно, в идеальном диэлектрике энергия электрического и магнитного полей равны друг другу:

(135)

Напряженности электрического и магнитного полей, совпадают по фазе.

В небольшом объеме (рис.51) заключена энергия

.

Отрезок волна проходит за время .

Плотность потока энергии П будет равна

или учитывая (135) имеем

. . . . . .(136)

Плотность потока энергии – величина векторная. Она называется вектором Пойнтинга. Его направление показывает направление движения энергии. Направление вектора совпадает с направлением движения оси правого винта, головка которого вращается в плоскости векторов в направлении от E к H по кратчайшему расстоянию (рис.52).

Следовательно, вектор Пойтинга, характеризующий распространение электромагнитной волны, равен векторному произведению напряженностей электрического и магнитного полей.

: . . . (137)

Следовательно, вектор Пойтинга, характеризующий распространение электромагнитной волны, равен векторному произведению напряженностей электрического и магнитного полей.

ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ.

Рассмотрим случай, когда плоская электромагнитная волна подходит нормально к плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду. Падающая волна частично отражается от поверхности проводника, частично проникает внутрь его и поглощается. В проводящей среде главное – токи проводимости. Уравнения Максвелла принимают вид:

(1)

(2) . . (138)

Выберем ось совпадающую с направлением распространения волны, а ось - с направлением вектора (рис.53).

Получаем систему уравнений:

(1)

(2)

(3) . . . . (139)

Из (139-3) имеем , т.к. постоянных составляющих нет, то и вектор Н направлен по оси .

Предположим, что напряженности электрического и магнитного полей изменяются во времени по синусоидальному закону:

Или в символической форме:

.

Подставляя и в уравнения (139) получаем:

(1)

(2) (140)

Дифференцируем (140-1) по , подставляем из (140-2), находим:

. . (141)

Решение этого уравнения ; где - корень характеристического уравнения. Т.к. , то вводя обозначение:

. . . . (142)

Имеем .

При второй член в при увеличении стремится к бесконечности. Т.к. этого физически быть не может, нужно принять, что . Тогда .

Постоянную , определяем из граничных условий. При . Т.е. . - напряженность магнитного поля на поверхности.

Переходим к мгновенным значениям:

: . . . . . . (143)

Подставляем в (140-1), получаем :

Т.к. , то:

. . . . . . ..(144)

Плотность тока проводимости изменяется по тому же закону, что и .

Волновое сопротивление проводящей среды:

. . . . . . . (145)

Во всех точках проводящей среды напряженность электрического поля опережает по фазе напряженность магнитного поля на . Амплитуды напряженностей электрического и магнитного поля по мере проникновения в глубь проводящей среды убывает по показательному закону. Начальная фаза колебаний увеличивается пропорционально , т.е. колебания все более запаздывают по фазе. Длина волны – это расстояние, на котором фаза изменяется на :

;

– частота колебаний, .

Отношение амплитуд колебаний на расстоянии λ от поверхности к их значениям на поверхности равно , т.е. на этом расстоянии волны практически затухают.

Длина волны при частоте 50 Гц в меди 5,9 см, в стали 0,45 см. При частоте 500 кГц в меди 0,059 см, в стали см. Таким образом, глубина проникновения электромагнитной волны в проводнике невелика на промышленной частоте и совсем незначительна на радиочастотах.

Плотность потока энергии:

Среднее значение за период колебаний:

. . . . . . . (147)

На расстоянии от поверхности, равное половине длины волны проникает только 0,185% энергии, поглощенной в проводящей среде. Поэтому можно считать, что волна практически затухает на расстоянии . Электромагнитный экран толщины достаточно эффективен. На радиочастотах он может быть выполнен из меди, на промышленной частоте – из стали.

ЯВЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА.

Переменный электрический ток распределяется неравномерно по сечению проводов, причем плотность тока имеет наибольшее значение на поверхности. Это явление называется поверхностным эффектом.

Явление поверхностного эффекта можно объяснить, рассматривая проникновение электромагнитного поля вглубь провода из пространства, окружающего провод. Потери энергии на нагревание провода током можно рассматривать как поглощение внутри провода проникающей через его поверхность электромагнитной энергии. Т.к. электромагнитная волна затухает по мере проникновения вглубь провода, то наибольшие , и плотность тока будут у поверхности.

Если длина волны много меньше поперечных размеров провода, то поверхностный эффект проявляется наиболее резко. В этом случае сравнительно несложно подсчитать активное и индуктивное сопротивление провода.

Мощность, проникающая в провод , где - радиус и - длина провода.

По закону полного тока

; ;

- действующее значение тока.

;

Т.к. угол между и равен 45°, то .

Отношение и к сопротивлению на постоянном токе .

;

ЭФФЕКТ БЛИЗОСТИ

Если поблизости друг от друга расположено несколько проводников

с переменными токами, то распределение токов в проводниках изменяется. Активное сопротивление проводников увеличивается. В двухпроводной линии плотность тока в сторонах проводников, обращенных друг к другу больше, чем в противоположных. Индуктивное сопротивление при этом уменьшается, т.к. при сближении проводов индуктивность контура уменьшается.

Поверхностный эффект и эффект близости используется при закалке и плавке металлов токами высокой частоты.

Переменное электромагнитное поле используется в индукционных насосах для перекачки электропроводящих жидкостей, для перемешивания стали в электроплавильных печах и во многих других процессах.

ПРИЛОЖЕНИЕ