Часть 2. Магнитное поле постояных токов

Магнитное поле постоянного тока – это один из компонентов электромагнитного поля, не изменяющегося во времени. Оно создается неизменными во времени токами, протекающими по проводящим телам, неподвижным в пространстве по отношению к наблюдателю. Второй компонент – электрическое поле – во времени не изменяется и потому не влияет на магнитное поле. Поэтому магнитное поле постоянного тока можно рассматривать независимо от электрического.

Магнитное поле характеризуется индукцией В, намагниченностью J, напряженностью магнитного поля Н.

Магнитное поле является одной из двух сторон электромагнитного поля. Оно обусловлено электрическим током и выявляется по силовому воздействию на движущиеся заряженные частицы. Это воздействие пропорционально скорости частицы и направлено нормально к направлению их движения

F=q[V В], (51)

где F - сила; q - заряд движущейся частицы; V-скорость движения; B -магнитная индукция.

МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

Магнитная индукция B - это векторная величина, характеризующая силовое действие магнитного поля на электрический ток, а также способностью магнитного поля при его изменении возбуждать электрического поле. Уравнение (51) можно записать в виде закона Ампера. В тонком проводнике

dV = dq = Idl.

Idl носит название элемента тока. Сила действующая на элемент тока F =i[dl dB] . (52)

Эта сила направлена перпендикулярно индукции в данной точке поля и перпендикулярна элементу тока Idl.

Т.к. i = δds то idl = δdsdl = δdv и сила, действующая на элемент объёма dv, равна F =[δ B].

Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением движением правого винта к вектору скорости (рис. 22, 23). Можно так же воспользоваться известным правилом левой руки.

Элементарный вектор магнитной индукции в некоторой точке пространства, создаваемый элементарный ток Idl=δdv, по закону Био и Савара, приводимый в записи Лапласа, равен

dB = dv,

r – длина отрезка, соединяющего элемент тока с точкой, в которой определяется индукция;

r₀ - единичный вектор, взятый вдоль этого отрезка;

µ - абсолютная магнитная проницаемость среды, µ = µ₀ µ_r;

µ₀ = 4π 10^-7 - магнитная постоянная, Гн/м;

µ_r – относительная магнитная проницаемость вещества.

Магнитная индукция в данной точки:

B = dv.

Рис. 22 Рис. 23

Интегрирование производится по всему замкнутому контуру тока или по всему объёму, занимаемому током. Направление вектора магнитной индукции вокруг проводника с током определяют по правилу правого буравчика (рис. 24).

Рис. 24

МАГНИТНЫЙ ПОТОК. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЛИНИЙ

МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Магнитным потоком называется поток вектора магнитной индукции

Ф = (53)

Из этого определения следует, что магнитная индукция является плотностью потока:

B = .

Площадка d s разумеется нормальна к направлению тока.

Опытом установлено, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность всегда равен нулю

т.е. divB = 0 – (54)

принцип непрерывности магнитных силовых линий.

Магнитное поле не имеет не источников, ни стоков. Линии магнитной индукции непрерывны, они нигде не начинаются и не заканчиваются, а образуют замкнутые петли. Магнитное поле является либо вихревым либо смешанным (отсутствуют и дивергенция и ротор).

ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Вектор магнитной индукции можно представить в виде ротора некоторого вектора А, называемого векторным потенциалом. Допустимость введения векторного потенциала основывается на том, что дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю

div( , (55)

т.к. divB = 0, то можно представить, что

В = . (56)

Если вектор-потенциал как функция координат известна, то индукцию в любой точке поля определяют путём нахождения ротора от вектор-потенциала в соответствии с (56). В отличие от скалярного магнитного потенциала φ_m, пользоваться которым можно только для областей, не занятых током, векторным потенциалом можно пользоваться как для областей, не занятых током, так и для областей, занятых током.

В электротехнических расчётах векторный потенциал применяют для определения магнитной индукции и магнитного потока, пронизывающего какой либо контур.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой точке уравнением Пуассона:

rot rotA = µ δ (57)

или

= ΔА = -µδ – уравнение Пуассона, (57а)

где Δ называется векторный лапласиан.

В декартовой системе координат это уравнение разбивается на три уравнения:

ΔА_х = - µ_а δ_х; ΔA_y = - µ_a δ_y; ΔA_z = - µ_a δ_z

или

ΔA = i Δ A_x + j ΔA_y + k ΔA_z .

В области вне токов это уравнение переходит в уравнение Лапласа

ΔА = 0. (58)

Направление векторного потенциала совпадает с направлением плотности тока, линии равного векторного потенциала являются линиями магнитной индукции.

Единицей вектор-потенциала А является вольт-секунда на метр (Вс/м).

ТЕОРЕМА СТОКСА.

Теорема Стокса позволяет перейти от поверхностного потенциала к линейному.

Магнитный поток, пронизывающий поверхность S

.

Так как

В = ,

то

.

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный:

. (59)

Таким образом,

. (60)

Другими словами, для определения магнитного потока сквозь некоторую поверхность S необходимо подсчитать циркуляцию вектор-потенциала по замкнутому контуру, ограничивающего эту поверхность.

Если поверхность замкнутая, то

ds = 0.

Теорема Стокса справедлива для любых векторов.