6. Метод d-разбиения

Метод D-разбиения (К).И. Неймарк, 1948). Методом I)-раз­биения называется метод выделения области устойчивости, основан­ный на D-разбиении, и он включает следующие три операции:

1) D-разбиение пространства параметров;

2) определение среди областей D(k) области, имеющей наиболь­ший индекс. Эта область называется областью-претендентом, так как только эта область может быть областью устойчивости;

3) проверка, является ли область-претендент областью устойчи­вости. Для этого фиксируется какая-либо точка внутри области- претендента и при значении варьируемых параметров, соответствую­щих фиксированной точке, проверяется устойчивость системы. Если система устойчива, область-претендент является областью устойчи­вости.

Очевидно, если заранее известно, что система структурно устой­чива, то указанную проверку устойчивости можно не выполнять.

Порядок D-разбиения и выделения области-претендента зависит от числа варьируемых параметров. Поэтому отдельно рассмотрим случаи одного и двух варьируемых параметре.

Выделение области устойчивости на плоскости одно­го параметра. Параметры системы могут принимать только дей­ствительные значения, и пространство параметров в случае одно­го варьируемого параметра представляет собой прямую, а область устойчивости — интервал. Однако при выделении интервала устой­чивости методом D-разбиения, предполагая, что параметр принима­ет комплексные значения, сначала находят область устойчивости на комплексной плоскости. Затем, выделяя вещественную часть, находят интервал устойчивости.

Пусть варьируемый параметр входит линейно в характеристи­ческое уравнение ( - полиномы от ). Для получения уравнения кривой D-разбиения сделаем подста­новку и разрешим его относительно параметра , обозначив его, когда он принимает комплексное значение, через :

или (70)

Здесь является четной, a нечетной функцией от . По­этому для построения кривой D-разбиения, которая строится при из­менении от до , достаточно построить кривую D-разбиения при изменении от 0 до , а затем для получения кривой, соот­ветствующей отрицательным , зеркально отобразить ее относитель­но вещественной оси.

Для выделения области-претендента кривую D-разбиения штри­хуют слева при движении по ней в сторону возрастания (рис. 15).

Рисунок 15 – Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра

При пересечении кривой со стороны штриховки один левый корень становится правым, а при пересечении с обратной стороны один пра­вый корень становится левым. Поэтому если, например, область 1 (см. рис. 15) принять за область D(r), то область 2 будет об­ластью D(r + 1) и область 3 областью D(r - 1). Следовательно, областью-претендентом будет область 2.

Пример. Определить область устойчивости для системы с характеристическим уравнением

Решение. Сделав подстановку и разрешив уравнение относительно комплексного параметра получим

Произведем расчеты при характерных значениях (таблица 4). На основе этих данных построим D-кривую, нанесем на нее штриховку и произведем индексацию областей (рис. 16). Областью-претендентом является область D(r + 2).

Таблица 4 (расчетные данные к примеру)

Как легко проверить, система при и (точка внутри этой области) устойчива. Следовательно, область D(r + 2) является областью устойчивости на комплексной плоскости, и множеством значений параметра, при котором система устойчива, является полу­интервал .

Рисунок 16 – Определение области устойчивости (к примеру)

Выделение области устойчивости на плоскости двух параметров. Пусть характеристическое уравнение имеет вил

где полиномы от ; вещественные пара­метры. Подставив и обозначив через ве­щественные части, а через мнимые части соответственно, получим

Приравняем отдельно вещественную и мнимую части нулю:

Решив эту систему, получим

(71)

где

Так как являются четными функциями, a нечетными функциями, как разности произведений четной функции и нечетной функции являются нечетными функциями.

Функции (71) как отношения нечетных функций будут четными функциями. Поэтому кривую D-разбиения, построенную с по­мощью этих функций, будем обходить дважды: при изменении от до 0 в одном направлении и при изменении а; от 0 до в обратном направлении.

При построении кривой D-разбиения возможны следующие три случая:

1. В этом случае уравнения (3.18) определяют по одному значению и для каждого значения и, изменяя , по точкам можно построить кривую D-разбиения;

2. Частоте, удовлетворяющей этому условию, не соответствуют никакие значения параметров, и та­кую частоту можно не рассматривать;

3. При частоте, удовлетворяющей этому усло­вию, одно из уравнений (71) является следствием другого, и эти уравнения определяют прямую, которая называется особой.

Если коэффициент при старшей степени и свободный член харак­теристического уравнения зависят от параметров, то, приравняв их нулю, получим особые прямые, отвечающие и соот­ветственно.

Штриховка на кривую D-разбиения наносится следующим обра­зом. При движении в сторону возрастания штриховка наносится слева при и справа при . И так как кривую D-разбиения проходим дважды при изменении от до (в одном направлении при отрицательных и в обратном направлении при положительных и знак функции в силу ее нечетности при изменении направления движения меняется, на нее наносится двойная штриховка. На особые прямые, соответствующие и , наносится одинарная штриховка. На особые прямые, соответствующие ненулевой конечной частоте такой, что знак при переходе через эту частоту меняется, наносится двойная штриховка. Штриховки на осо­бые прямые наносятся так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой и кривой (там, где меняет знак) заштрихованные и неза- штрихованные стороны были направлены друг к другу (рис. 17. а-в).

Особые прямые, соответствующие конечной частоте, при переходе которой определитель не меняет знака, не штрихуются (рис. 17, г). Такие особые прямые можно исключить из рассмотрения.

Рисунок 17 – Штриховка особых прямых:

При переходе через границу с двумя штриховками два левых корня становятся правыми, если переход осуществляется против штрихов­ки, и два правых корня становятся левыми, если переход осуществля­ется в сторону штриховки.

7.