8. Определение оптимальных параметров регулятора

8.1 Интегральные показатели качества.

Ошибку системы можно представить в виде суммы:

где переходная составляющая ошибки, — установившаяся ошибка.

В качестве интегральных оценок наиболее часто используют интегральную квадратическую ошибку

(82)

(которую также называют интегральной квадратической оценкой) и обобщенные интегральные квадратические оценки

(83)

где — весовые константы.

Смысл показателя ясен из его названия, и при .

Однако возможны случаи, когда при малых сис­тема становится сильно колебательной. Это послужило одной из причин использования обобщенных интегральных квадратических оценок.

8.2 Равенство Парсеваля.

Рассмотрим равенство Парсеваля, которое используется при вычислении интегральных квадратических оценок. Если X(s) является изображением Лапласа функции x(t) и его по­люсы расположены в левой полуплоскости, то справедливо равенство Парсеваля:

(84)

8.3 Вычисление интегральных квадратных оценок.

На основе ра­венства Парсеваля (84) имеем

(85)

(86)

где

Так как

то формулу для можно записать в виде

(87)

Аналогичным образом можно представить формулы и для (к=2,3, ...,m).

Определение интегральных показателей по формулам (85), (86) и (87) сводится к вычислению интеграла вида

(88)

Этот интеграл вычисляется с помощью теории вычетов и для n = 1,2,3 имеет следующий вид:

(89,а)

(89,б)

(89,в)

Пример. Вычислить интегральные показатели и системы, когда передаточная функция

Решение. Вычислим и , необходимые для вычисления указанных показателей. Но прежде всего найдем E(s). Учитывая, что g(t) = 1(t) и G(s) = L{g(t)} = 1/s, можно записать

Установившееся значение

Так как то

На основании свойства преобразования Лапласа получаем

В соответствии с (85) имеем

В данном случае (см. (88)) . Поэтому согласно (89,а)

Теперь найдем . Учитывая (85), из (87) получаем

Так как

имеем

Ответ:

Задание

Цель работы: определить настройки типового регулятора (ПИ, ПИД, ПД), минимизирующие интегральный квадратичный критерий I₀ при заданном ограничении M<M_зад (M<M_{е зад}) или m>m_зад . Выбрать промышленный регулятор и его настройки.

1. Построить переходную кривую объекта по табличным данным.

2. По переходной кривой методом «площадей» Симою М.П. определить параметры нескольких моделей объекта (площадь S₁ рассчитать вручную).

3. По найденным передаточным функциям методом обратного преобразования Лапласа рассчитать и построить переходные кривые моделей (две точки одной из кривых рассчитать вручную). Выбрать рабочую модель, наиболее близкую к объекту.

4. Построить АФХ рабочей модели объекта:

–нормальную для вариантов 1, 2, 3 задания;

–расширенную для вариантов 4, 5, 6.

(Одну точку АФХ рассчитать вручную).

5. Выбрать закон регулирования (расчет вести для двух законов регулирования).

6. Построить область устойчивости в плоскости настроечных параметров регулятора (одну точку кривой Д-разбиения для одного из регуляторов построить вручную).

7. Рассчитать и построить в плоскости параметров настроек кривую равного значения:

–показателя колебательности M=M_зад :

M_зад = 1.2 – вариант 1

M_зад = 1.5 – вариант 2

–показателя колебательности M=M_{е зад} :

M_{е зад} = 1.5 – вариант 3

–степени колебательности m=m_зад :

m_зад = 0.221 – вариант 4

m_зад = 0.3 – вариант 5

m_зад = 0.366 – вариант 6

8. Определить оптимальные параметры регулятора.

9. Построить АФХ разомкнутой АСР (одну точку рассчитать вручную) и АЧХ замкнутой по задающему воздействию или ошибке (если задан M_е ) для оптимальных настроек регулятора.

10. Провести анализ качества регулирования. Выбрать наилучший закон регулирования.