- •Методические указания для выполнения курсовой работы Требования к курсовой работе
- •Теоретическая часть
- •1 Выбор промышленного регулятора и его настройка
- •2 Построение переходной кривой объекта
- •3 Метод площадей Симою
- •3.1 Объект регулирования с самовыравниванием
- •3.2 Объект регулирования без самовыравнивания
- •Как следует из рисунка 7 кривая разгона является характеристикой интегрирующего типа и может быть описана моделью следующего вида
- •График приведен на рисунке 10.
- •3.3 Определение параметров модели по площадям
- •3.4 Определение площадей по переходной кривой
- •3.5. Вычисление моментов численными методами
- •3.6. Определение порядка передаточной функции
- •4. Преобразование Лапласа
- •5. Построение афх рабочей модели объекта
- •6. Метод d-разбиения
- •7.1 Показатель колебательности
- •7.2 Степень колебательности
- •8. Определение оптимальных параметров регулятора
- •8.1 Интегральные показатели качества.
- •8.2 Равенство Парсеваля.
- •8.3 Вычисление интегральных квадратных оценок.
- •Задание
- •Расчетные данные
- •Задание № 6 (вариант 2)
- •Задание № 27 (вариант 5)
- •Задание № 47 (вариант 1)
- •Список использованной литературы
3.6. Определение порядка передаточной функции
Выше предполагалось, что порядок передаточной функции модели выбирается априорно, и задача расчета сводится к определению параметров модели.
При таком подходе структура объекта может существенно отличаться от структуры модели, содержать трансцендентные члены и т.д. Близость объекта и модели понимается в смысле равенства определенного числа площадей (или моментов) объекта и модели.
Будем предполагать, что объект также описывается передаточной функцией вида.
Покажем, что в этом случае, используя метод площадей, можно определить порядок передаточной функции объекта и ее параметры.
Пусть порядок передаточной функции равен . Для простоты примем . Тогда
(54)
Коэффициенты должны удовлетворять любому из уравнений (48).
Запишем систему из уравнений (48) с учетом (54) для , , :
(55)
Для того, чтобы система (55) имела единственное решение ее определитель должен быть равен нулю.
. (56)
Из условия (56) может быть определен порядок передаточной функции объекта.
Можно предложить следующий алгоритм определения порядка :
1. Для последовательно вычисляется определитель ;
2. Значение , при котором определяет порядок .
При практических расчетах значения площадей определяется с погрешностью, вызванной как неточностью определения переходной кривой, так и ошибками численного интегрирования. Поэтому условие может выполняться лишь приближенно,
. (57)
Для оценки величины целесообразно использовать критерий:
, (58)
где – некоторая достаточно малая величина.
Порядок может быть вычислен и непосредственно с использованием моментов.
4. Преобразование Лапласа
При рассмотрении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно использовать преобразование Лапласа, так как оно решение дифференциальных уравнений сводит к алгебраическим операциям.
Преобразованием Лапласа называют соотношение
(59)
ставящее функции x{t) вещественного переменного в соответствие функцию X(s) комплексного переменного s . При этом x(t) называют оригиналом, X(s) — изображением или изображением по Лапласу и s переменной преобразования Лапласа. Оригинал обозначают строчной, а его изображение — одноименной прописной буквой.
Предполагается, что функция x(t), подвергающаяся преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:
1) функция x(t) определена и кусочно дифференцируема на интервале ;
x(t) = 0 при t < 0;
существуют такие положительные числа с и М, что при .
Функцию, обладающую указанными свойствами, называют функцией-оригиналом.
Соотношение
(60)
определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой прямой Re s = > с.
Условно прямое и обратное преобразования Лапласа записывают соответственно в виде
где L – оператор Лапласа, a обратный оператор Лапласа.
Основные свойства преобразования Лапласа.
1°. Свойство линейности. Для любых постоянных и
т. e. преобразование Лапласа от суммы функций равно сумме преобразований слагаемых, и постоянные множители можно выносить за знак преобразования.
2°. Дифференцирование оригинала. Если производная x(t) является функцией-оригиналом, то
где . Здесь запись обозначает, что t стремится к нулю, оставаясь положительным (предел справа).
Если п-я производная является функцией-оригиналом, то
Здесь .
При последняя формула принимает вид
Таким образом, при нулевых начальных условиях дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на s.
3°. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на s:
4°. Теорема запаздывания. Для любого
5°. Теорема о свертке (умножении изображений). Если и оригиналы, a и - их изображения, то
Интеграл в правой части называют сверткой функций и его обозначают
Поэтому
6°. Теоремы о предельных значениях. Если x(t) оригинал, а Х(s) — его изображение, то
и если существует предел то
7°. Теорема разложения. Если Х(s)=B(s)/A(s) является дробно- рациональной функцией (A(s), B(s) - полиномы от s) и степень полинома числителя меньше полинома знаменателя, то ее оригиналом является функция
(61)
где корни уравнения A(s)= 0, — их кратности и q — число различных корней. Если указанные корни простые, то
(62)
Здесь n – степень полинома A(s) и
Формулы (61) и (62) справедливы при . При t < 0 по определению функции-оригинала .