Геометрична інтерпретація розв’язку гри.

На площині уведемо систему координат і на осі відкладемо відрізок одиничної довжини , кожній точці якого поставимо у відповідність деяку змішану стратегію (Рис.1). Зокрема, точці відповідає стратегія , точці – стратегія і т.д.

У точках і побудуємо перпендикуляри на отриманих прямих будемо відкладати виграш гравців. На першому перпендикулярі (у даному випадку він збігається з віссю ) відкладемо виграш гравця А при стратегії , а на другому – при стратегії . Якщо застосовує стратегію , то його виграш дорівнює 2 при виборі гравцем В стратегії , а стратегії виграш гравця А дорівнює 5. Числам 2 і 5 на осі відповідають точки і .

Рис.1.

Якщо ж гравець застосовує стратегію , то його виграш при стратегії гравця В дорівнює 6, а при стратегії він дорівнює 4. Ці два числа визначають дві точки та на перпендикулярі, побудованому у точці . З'єднуючи між собою точки з та з , одержимо дві прямі, відстань до який від осі визначає середній виграш за будь-якої комбінації відповідних стратегій. Наприклад, відстань від будь-якої точки відрізка до осі визначає середній виграш за будь-якої комбінації стратегій і (з частотами і ) і стратегії гравця . Ця відстань дорівнює Аналогічно, середній виграш при застосуванні стратегії визначається ординатами точок, що належать відрізку .

Таким чином, ординати точок, що належать ламаній , визначають мінімальний виграш гравця при застосуванні ним будь-яких змішаних стратегій. Ця мінімальна величина є максимальною в точці , отже, цій точці відповідає оптимальна стратегія , а її ордината дорівнює ціні гри . Координати точки знаходимо як координати точки перетину прямих та . Відповідні три рівняння мають вид

Розв’язуючи останню систему рівнянь, одержуємо .

Аналогічно знаходиться оптимальна стратегія для гравця .

Для її визначення маємо рівняння

звідки .

Отже, рішенням гри є змішані стратегії та , а ціна гри . До такого висновку ми прийшли і вище.

Узагальнюючи викладені вище результати знаходження розв’язку гри , , можна вказати основні етапи знаходження розв’язку гри чи .

1. Будують прямі, що відповідають стратегіям другого (першого) гравця.

2. Визначають нижню (верхню) границю виграшу.

3. Знаходять дві стратегії другого (першого) гравця, яким відповідають дві прямі, що перетинаються в точці з максимальною (мінімальною) ординатою.

4. Визначають ціну гри й оптимальні стратегії.

Приклад 2. Знайти розв’язок гри, заданою матрицею

Рішення. Прямі , і відповідають стратегіям, а ламана – нижній границі виграшу гравця . Гра має розв’язок .

Приклад 3. Знайти розв’язок гри, заданої матрицею

Рішення. Матриця має розмірність . Будуємо прямі, що відповідають стратегіям гравця Ламана відповідає верхній границі виграшу гравця , а відрізок – ціні гри.

Розв’язок гри: .