Парні ігри з нульовою сумою.

Однозначний опис вибору гравця в кожній з можливих ситуацій, при якій він повинний зробити особистий хід, називається стратегією гравця.

Стратегія гравця називається оптимальною, якщо при багатократному повторенні гри вона забезпечує гравцю максимально можливий середній виграш (чи, що те саме, мінімально можливий середній програш).

Нехай мається два гравці, один із яких може вибрати - у стратегію з своїх можливих стратегій ( ), а другий, не знаючи вибору першого, вибирає -у стратегію з своїх можливих стратегій ( ). У результаті перший гравець виграє величину , а другий програє цю величину

З чисел складемо матрицю

Рядки матриці відповідають стратегіям першого гравця, а стовпці – стратегіям другого. Ці стратегії називаються чистими.

Матриця називається платіжною (чи матрицею гри).

Гру, обумовлену матрицею , що має рядків і стовпців, називають скінченною грою розмірності .

Число називається нижньою ціною гри чи максиміном, а відповідна йому стратегія (рядок) – максимінною.

Число називається верхньою ціною гри чи мінімаксом, а відповідна йому стратегія гравця (стовпець) – мінімаксною.

Теорема 1. Нижня ціна гри завжди не перевершує верхньої ціни гри.

Визначення 1. Якщо , то число називається ціною гри.

Визначення 2. Гра, для якої , називається грою із сідловою точкою.

Для гри із сідловою точкою знаходження розв’язку полягає у виборі максимінної та мінімаксної стратегій, що є оптимальними.

Якщо гра, задана матрицею, не має сідлової точки, то для знаходження її розв’язку використовуються змішані стратегії.

Визначення 3. Вектор, кожна з компонентів якого показує відносну частоту використання гравцем відповідної стратегії, називається змішаною стратегією даного гравця.

З даного визначення безпосередньо випливає, що сума компонент зазначеного вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти додатні. Звичайно змішану стратегію першого гравця позначають , а другого гравця – як вектор , де , , ,

Якщо – оптимальна стратегія першого гравця, а – оптимальна стратегія другого гравця, то число є ціною гри.

Визначення оптимальних стратегій і ціни гри складає процес знаходження розв’язку гри.

Теорема 2. Усяка матрична гра з нульовою сумою має розв’язок в змішаних стратегіях.

Теорема 3. Для того щоб була ціною гри, а і - оптимальними стратегіями, необхідно і достатньо, щоб виконувались нерівності

і .

Якщо теорема 2 дає відповідь на питання про існування розв’язку гри, то наступна теорема дає відповідь на питання, як знайти це рішення для ігор , і , приклади яких приведені нижче.

Теорема 4. Якщо один із гравців застосовує оптимальну змішану стратегію, то його виграш дорівнює ціні гри незалежно від того, з якими частотами буде застосовувати другий гравець стратегії, що ввійшли в оптимальну (у тому числі і чисті стратегії).

Приклад 1. Знайти розв’язок гри, заданою матрицею , і дати геометричну інтерпретацію цього розв’язку.

Передусім перевіримо наявність сідлової точки в даній матриці. Для цього знайдемо мінімальні елементи в кожному з рядків (2 і 4) і максимальні елементи в кожному зі стовпців (6 і 5). Отже, нижня ціна гри , а верхня ціна гри . Так як , то розв’язком гри є змішані оптимальні стратегії, а ціна гри знаходиться в межах .

Припустимо, що для гравця стратегія задається вектором . Тоді на підставі теореми 4 при застосуванні гравцем чистих стратегії чи гравець одержить середній виграш, що дорівнює ціні гри, тобто

, (при стратегії )

, (при стратегії )

Крім двох рівнянь відносно і додамо рівняння, зв’язуючи частоти і .

.

Розв’язуючи отриману систему трьох рівнянь з трьома невідомими, знаходимо .

Знайдемо тепер оптимальну стратегію для гравця . Нехай стратегія для даного гравця задається вектором

Тоді

Розв’язуючи систему рівнянь, що складається з будь-яких двох рівнянь, узятих з останньої системи, одержимо . Отже, розв’язком гри є змішані стратегії та , а ціна гри .