Азартні ігри

Строго кажучи, азартні ігри не є предметом дослідження теорії ігор. Цей факт легко пояснити: у азартній грі, як правило, результат залежить не від умілих або продуманих дій гравця, а від випадкових чинників. Інтерес до азартної гри часто підігрівається високими ставками або іншими зовнішніми стимулами, що відводять дослідника убік від ігрових проблем. Проте, іноді про азартні ігри говорять в хорошому сенсі слова: азартні – тобто цікаві, захоплюють, не залишають нікого байдужим. З цієї точки зору, дослідження азартних ігор представляє безперечний інтерес для творців нових ігор, а значить і для математиків, що закладають фундамент нових розробок.

Насправді, які ігри понад усе захоплюють і чому? Причин тому може бути декілька. Тут і новизна ігрових ситуацій, і своєрідність оформлення, і можливість реалізувати свої здібності. Не менш істотна динамічність гри: велика кількість екстремальних ситуацій з неочевидним результатом для всієї гри. Але що означає динамічність гри на мові математики? Чи можна її зміряти? І чи можна говорити про динамічність ігор взагалі, порівнюючи такі різні ігри, якими є, наприклад, футбол і шахи? Спробуємо відповісти на всі ці питання, запропонувавши математичну модель ігрового процесу.

Як вже наголошувалося, в грі може брати участь декілька гравців і їх оцінка динамічності гри, взагалі кажучи, може розрізнятися. Тому ми говоритимемо про сприйняття одного з гравців, маючи на увазі його конкретну мету і відповідно його ресурси в даній грі.

Гравець може володіти набором ресурсів, кожен з яких в тому або іншому ступені необхідний для досягнення мети і кожен з яких може бути зміряний кількісно. Типовим ресурсом шахіста є набір фігур, які він може пожертвувати в ході гри і при цьому поставити мат супротивникові. Іншим його ресурсом є контрольний час, за який він зобов'язаний зробити певну кількість ходів. Як би не була кількість ресурсів у розпорядженні гравця, ми завжди можемо вести мову про деяку узагальнену скалярну величину – ресурс , який і відображатиме загальний стан з ресурсами у гравця на даний момент гри. Зокрема, на початку гри ми можемо покласти для визначеності , тоді як означатиме відсутність ресурсів, необхідних для продовження гри.

Нам буде потрібно також іншу скалярну величину, по якій ми могли б судити про прогрес на шляху до ігрової мети. Назвемо її цільовою функцією і позначимо (позначення є скороченням англійських слів: resource = ресурс, goal = мета). На початку гри ми покладемо – це означає, що для досягнення мети ще нічого не зроблено. Досягненню мети відповідатиме вибране нами для визначеності значення . Для шахіста величина , швидше за все, відповідає так званій позиційній перевазі, яка врешті-решт приводить до перемоги. Зміряти його непросто, але в принципі, можливо. Для футбольної команди є функцією різниці забитих і пропущених м'ячів, а також часу, який залишився до закінчення матчу. (Подумайте самі, як записати цю функцію?)

За розвитком гри або за ігровим процесом, нам зручніше стежити, спираючись на змінну . Це не обов'язково час, адже в багатьох іграх час строго не враховується. Точніше, ми вважатимемо, що кожному значенню відповідає своя ігрова ситуація, яка характеризується цілком певним запасом ресурсів у кожного з гравців і цілком певним прогресом в досягненні своєї мети кожним з них. Величина в ігровому процесі змінюється монотонно від (початок гри) убік . Вона може бути безперервною, як у футбольному матчі, або дискретною, як в шахах, – залежно від конкретної гри. Завершенню гри (для нашого гравця) відповідає таке значення , при якому виконана одна з двох умов: або (досягнення мети, виграш), або (вичерпання ресурсів, програш). Що стосується так званого "нічийного результату", то ми не розглядатимемо його окремо. Врешті-решт, кожен гравець (команда) ще до початку гри знають, влаштовує їх нічия чи ні. Значить, вони мають право вважати нічию рівносильною виграшу або програшу відповідно.

Таким чином, в області ми можемо описувати ігровий процес з позицій конкретного гравця двома функціями: і . На графіках 1, а-б наведені приклади ігрових процесів, які закінчилися виграшем і програшем.

Рис.1. Ігровий процес з: а) виграшем; б) програшем.

Для того, щоб судити про динаміку ігри, а значить, в якійсь мірі і про інтерес гравця до неї, нам треба оцінити, кому в процесі гри належала ініціатива, чи переходила вона з рук в руки або результат гри був ясний із самого початку. Введемо в розгляд функцію ініціативи, поклавши її за визначенням рівною . Відповідно до цього визначення і спираючись на розглянуті вище граничні значення функцій і , можна відмітити, що на початку гри . В кінці гри, у разі виграшу , а у разі програшу – . В процесі гри зростання функції ми пов'язуємо з посиленням позицій гравця, а зміну знаку цієї функції означає перехід ініціативи з рук в руки.

Можна також відзначити, що область значень , при яких має сенс ігрових відрізків боротьби на рівних, тоді як відхилення і вихід за межі вказаної області означатиме значну перевагу сил однієї із сторін. Нарешті, ми можемо дати кількісну оцінку динамічності гри, розглядаючи її як відношення суми довжин відрізків боротьби на рівних до загальної довжини ігрового процесу . Щоб довести оцінку величини до числа, нам доведеться замінити якісний критерій на кількісний: , де – додатне порогове значення (константа для наший моделі).

Само собою, величина залежить не тільки від правил гри, але і від індивідуальних здібностей гравця, його старання і навіть везіння. Тому перше ж завдання, яке доводиться вирішувати творцеві або організаторові нової гри, полягає в тому, щоб зацікавити нею і новачка, і "професіонала". Якщо в грі беруть участь протиборчі сторони, то шукана рівновага сил досягається підбором команд (учасників) одного рівня, віднесенням їх в певні ліги і так далі Якщо ж учасник гри один, як це часто буває в комп'ютерних іграх, то сама гра повинна мати можливість налаштування на різні рівні майстерності.

Отже, в рамках нашої моделі ігрового процесу ми показали, що маючи можливість кількісної оцінки ресурсів і прогресу в досягненні ігрової мети конкретним гравцем, ми можемо проаналізувати хід його боротьби, наявність ігрової ініціативи і динаміку її зміни. Обмеження в застосуванні наший моделі розробниками може бути пов'язано з складнощами в кількісній оцінці (вимірюванні) вказаних величин. З іншого боку, стосовно комп'ютерних ігор, навіть спрощені способи вимірювань можуть виявитися корисними при розгляді логіки і принципів поведінки окремих об'єктів ігрової програми.

Задачі теорії ігор і лінійне програмування

Економічна і геометрична інтерпретації задач теорії ігор

Якщо є декілька конфліктуючих сторін (гравців), кожна з який приймає деяке рішення, обумовлене заданим набором правил, і кожному з гравців відомий можливий кінцевий стан конфліктної ситуації із заздалегідь визначеними для кожної зі сторін платежами, то говорять, що має місце гра. Задача теорії ігор складається у виборі такої лінії поводження даного гравця, відхилення від якої може лише зменшити його виграш.

Ситуація називається конфліктною, якщо в ній беруть участь сторони, інтереси яких цілком чи частково протилежні.

Гра – це дійсний чи формальний конфлікт, у якому є принаймні два учасники (гравця), кожний з який прагне досягнути власних цілей.

Припустимі дії кожного з гравців, спрямовані на досягнення деякої мети, називаються правилами гри.

Кількісна оцінка результатів гри називається платежем.

Гра називається парною, якщо в ній беруть участь тільки дві сторони (два гравця).

Парна гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума платежів дорівнює нулю, тобто якщо програш одного гравця дорівнює виграшу другого.