8. Первообразная

8.1. Типовые задания по теме

Пример 1 (вариант 1 №5)

Найдите все первообразные функции

Решение

D(f) = R;

F(x) =

D(F) = R.

Ответ:

Пример 2 (вариант 4 №5)

Найдите какую-нибудь первообразную функции значение которой при x =2 отрицательно.

Решение

F(x) =

F(2) = 8+16 + C = 24 + C;

F(2) < 0, 24 + C < 0;

C < -24.

Например, C = -30;

F(x) = 4x +

Ответ: 4x +

Пример 3 (вариант 7 №5)

Является ли функция F(x) =

Решение

Если F^/(x) = f(x),то F(x) является первообразной.

F^/(x)= 3

F^/(x) = f(x) на следовательно, является первообразной.

Ответ: является первообразной.

Пример 4 (вариант 9 №5)

Найдите первообразную функции график которой проходит через точку (3; 4).

Решение

По условию F(3) = 4;

F(3) =

-6 + C = 4, C = 10.

F(x) =

Ответ: =

Пример 5 (вариант 20 №5)

Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную

f(x) = x + 5.

Решение

Эта задача сводится к нахождению всех первообразных для f(x).

F(x) =

тогда F^/(x)=x + 5.

Ответ: .

8.2. Нахождение площади криволинейной трапеции

Алгоритм выполнения задания

1. Построить все фигуры, линии с описанием построения.

2. Определить пределы интегрирования.

Это возможно:

- вычислением;

- по графику;

- по таблице значений.

3. Вычислить S по формуле Ньютона-Лейбница.

Пример 1 (вариант 5 №5)

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

Решение

Подынтегральная функция

Пределы интегрирования a = -1, b = 2.

Площадь фигуры вычислим по формуле Ньютона-Лейбница. S =

= + 22 +

Ответ: 28,5 (ед²).

Справочный материал, разрешённый для проведения промежуточной аттестации

Решение тригонометрических уравнений

Уравнение	Общая формула	Частный случай
	=
a

a	-1				0				1
arc a					0
									0

a a		-1		0		1
arctga				0
arcctga

30