2. Показательные неравенства

При решении показательных неравенств используется свойство монотонности показательной функции и ее возрастание и убывание в зависимости от значения основания.

Пример 1 (вариант 45 №2)

Решите неравенство

Решение

чит меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

x < 1.

Ответ:(

Пример 2 (вариант 82 №2)

Решите неравенство

Решение

-3<

.

Ответ: (

Пример 3 (4.134)

Решите неравенство

Решение

Неравенство решим методом интервалов.

1. f (x) = f (x) непрерывна на D( f ).

2. D( f ): ,

D( f )=

+ _ +

3. Н ули:

0 9

4. f (1) =

Ответ:

2. Системы показательных уравнений

Пример 1 (5.82)

Решите систему уравнений

Решение

-x = 1,

x = -1;

Ответ: ( -1; 2).

Пример 2 (6.132)

Решите систему уравнений

Решение

Разделим одно уравнение на другое:

x – y = 2,

x = 2 + y,

= ,

y = 1;

Ответ: (3; 1).

4. Степени

4.1. Упрощение выражений, содержащих степени

Данные задания содержатся только в обязательной части и не представляют трудности для обучающихся.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 7 №1)

Вычислите

Решение

Ответ: 28.

Пример 2 (вариант 16 №1)

Упростите

Решение

Ответ:

Пример 3 (вариант 40 №1)

Вычислите

Решение

Ответ: 10.

Пример 4 (вариант 66 №1)

Вычислите

Решение

Ответ:

Пример 6 (вариант 81 №1)

Вычислите

Решение

Ответ: 1.

5. Иррациональные уравнения

Определение. Уравнение, содержащее иррациональное выражение относительно неизвестного, называется иррациональным.

5.1. Рекомендации

При решении иррациональных уравнений используются два основных метода:

1. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2. Введение новых (вспомогательных) переменных.

При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень могут появиться «посторонние» корни, поэтому при решении иррациональных уравнений необходима проверка найденных корней.

5.2. Решение уравнений, содержащих один радикал

Пример 1 (5.35)

Решите уравнение

3x + 1 = .

Решение

3x + 1 =

Пример 2 (5.53)

Найдите координаты общих точек графиков функций

y =

Решение

Координаты искомых точек являются решением уравнения

;

.3. Решение уравнений, содержащих два радикала

Иногда попытка решения наталкивается на технические трудности, поэтому проще решить полученное уравнение и проверкой определить посторонние корни.

Пример 1 (5.27)

Решите уравнение

- = 0.

Решение

- = 0,

= ;

1. 

2. = 0;

0 = 0.

Ответ: -1; 1.

6. Некоторые способы решения уравнений и неравенств

Наряду с уравнениями и неравенствами, решаемыми традиционными методами, встречаются уравнения и неравенства, которые можно решать на основе монотонности функции.

Неравенства часто легче решать методом интервалов.