2.1. Логарифмические выражения

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (4.58)

Вычислите

Решение

Ответ: 7.

Пример 2 (4.53)

Вычислите

Решение

Ответ: 2.

2.2. Логарифмические уравнения

Рекомендации

Решение логарифмических уравнений базируется на монотонности логарифмической функции R₊.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 17 №2)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

Пример 2 (4.91)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

D>0;

x₁ = 1, x₂ = 4.

Ответ: 1; 4.

Пример 3 (4.108)

Решите уравнение

Решение

D ( R₊;

,

,

,

x = 6.

Ответ: 6.

Пример 4 (6.7)

Решите уравнение

-7) = 3 – x.

Решение

-7) = D ( R₊;

; по теореме Виета

) = R₊,

Тогда

Ответ: 3.

3. Логарифмические неравенства

Рекомендации

Решение логарифмических неравенств базируется на монотонности логарифмической функции При a > 1 функция монотонно возрастает на R₊, а при 0 < a <1 функция монотонно убывает на R₊. При решении неравенств необходимо учитывать условие, что D ( R₊.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 6 №2)

Решите неравенство

D ( R₊; R₊, т.к. 10 > 1, следовательно,

x > 6,25.

Пример 2 (4.93)

Укажите все целые решения неравенства

Решение

D ( R₊; R₊, т.к. 4 > 1, следовательно

+ _ +

;

-4 2

+ - +

; -6 4

-6 -4 2 4

Целые решения: -5; 3.

Ответ: -5; 3.

Пример 3 (4.132)

Решите неравенство

Решение

Неравенство решим методом интервалов.

1. f(x)=

Функция f(x) непрерывна на D(f).

2. D(f):

3. Нули f(x):

+ _

= 9,

4. ,

,

Ответ:

3. Системы логарифмических уравнений

Пример 1 (4.151)

Решите систему

Решение

D ( R₊.

5x + 12 – 12x = 8 – 3x

12 - 8= 12x – 5x – 3x,

4 = 4, x =1, x >0; y = 3 – 3 0 > -5;

3. Показательная функция.

Показательные уравнения, неравенства, системы.

Справочный материал

Определение. н

Свойства показательной функции

1. D (y) = R.

2. E(y) = R₊.

3. При a > 1 функция монотонно возрастает на R и при 0 <a <1 функция монотонно убывает на R.

4. При x= 0 значение функции y = 1.

5. Монотонность используется при решении уравнений и неравенств.

2. Показательные уравнения

Основные методы решения показательных уравнений

1. Приведение к одному основанию.

2. Вынесение за скобку общего множителя.

3. Логарифмирование обеих частей уравнения.

4. Использование монотонности функции.

5. Введение новой переменной.

Пример 1 (вариант 6 №2)

Решите уравнение

Решение

-

Пример 2 (вариант 47 №2)

Решите уравнение

Решение

x = -2.

Ответ: -2.

Пример 3 (4.59)

Решите уравнение

Решение

1=0

= -4, = 2;

= -4 не удовлетворяет условию

=2,

Ответ: 1.

Пример 4 (4.78)

Решите уравнение

Решение

−24=25>0,

1. ,

2. 

Ответ:

Пример 5 (6.94)

Решите уравнение

Решение

D ;

= 2, = 8;

1. 

= 1, x > 2,

x – 2 = 1,

x = 3.

= 3, x > 2,

x – 2 = 9,

x =11.

Ответ: 3; 11.