7.4 Касательная к графику функции

Рекомендации

Уравнение касательной задается формулой

y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀),

f ^/(x₀) = k = tg .

Если функция f(x) не имеет производной в точке x₀, но непрерывна в этой точке, то либо график функции в этой точке не имеет касательной, либо есть вертикальная касательная.

Алгоритм выполнения задания

Дано f(x), x₀.

1. f(x₀).

2. f ^/(x).

3. f ^/(x₀).

4. y= f(x₀) + f ^/(x₀)(x - x₀) – уравнение касательной.

Замечания, полезные при выполнении заданий

1. Прямые параллельны:

.

2. Прямая пересекает Oy:

y=kx + b, x = 0, y = b; (0;b).

3. Прямая пересекает Ox:

y=kx + b,

y = 0, kx + b=0, x = -

4. Прямая параллельна Ox: y = b.

Примеры выполнения заданий

Пример 1 (вариант 6 №5)

Дана функция Найдите координаты точек графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс.

Решение

Касательная параллельна Ox, следовательно, f ^/(x₀) = 0.

f ^/(x)=

f ^/(x₀) = 0;

-10 (

1. 

2. 

:

Пример 2 (вариант 62 №5)

К функции проведены касательные в точках с абсциссами Являются ли эти касательные параллельными прямыми?

Решение

Если прямые параллельны, то

k = f ^/(x₀);

y ^/ =

y ^/

y ^/

Следовательно, касательные не параллельны.

Ответ: касательные не параллельны.

Пример 3 (4.173)

Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀ =1. Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.

Решение

1. y(x₀)= y(1)=1.

2. y ^/(x)=3x².

3. y ^/( )= y ^/(1)=3.

4. y = y(x₀) + y ^/(x₀)(x - x₀)= 1 + 3(x – 1) = 1 + 3x – 3 = 3x – 2;

y = 3x – 2.

Если прямые параллельны, то равны их угловые коэффициенты.

k = 3, k = f ^/(x₀);

y ^/(x₀)=3

3

=1, x₀=1, x₀= - 1.

Следовательно, существует одна точка x₀= - 1, y₀ = -1, A(-1; -1), в которой касательная параллельна y = 3x – 2.

Ответ: y = 3x – 2; A(-1; -1).

Пример 4 (4.179)

Составьте уравнение касательной к графику функции

Решение

Прямые параллельны, следовательно,

k =y ^/(x₀);

y ^/(x) = ,

y ^/(x₀) = ,

Составим уравнение касательной в точке x₀ =1.

y(x₀)= y(1)=2

y ^/(x₀)=1;

y = y(x₀) + y ^/(x₀)(x - x₀)= 2 + 1(x - 1) = x + 1.

Ответ: y = x + 1.

7.5 Наибольшее и наименьшее значения функции

Алгоритм выполнения задания

1. y ^/(x).

2. Нахождение критических (стационарных) точек y ^/(x) = 0.

3. Если критические точки существуют, проверить, принадлежат ли они отрезку [a; b].

4. Найти значения y (x) на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих [a; b].

5. Выбрать наибольшее (наименьшее) значение y (x) на [a; b].

Пример 1 (вариант 59 №5)

Найдите наименьшее значение функции f(x)= на промежутке [1; 4].

Решение

1. D(f) =R, f(x) непрерывна и дифференцируема на R.

2. f ^/(x) = 6x – 12.

3. f ^/(x) = 0; 6x = 12; x = 2 – критическая точка.

4. [1; 4].

5. 

Ответ: -11.

Пример 2 (4.200)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Решение

1. D(y) =R, y(x) непрерывна и дифференцируема на R.

2. y ^/

y ^/ = 0;

по теореме Виета

3. 

4. y (-1) = -1 - 3 + 9 - 4 = 1;

y (3) = 27 – 27 - 27 – 4 = -31;

y (4) = 64 – 48 - 36 – 4 = - 24;

y (-4) = -64 – 48 + 36 – 4 = -80;