5. Характеристики статистического распределения

В описательной статистике центральное место занимает оценивание параметров выборки.

5.1. Точечное оценивание параметров распределения

Точечная оценка - количественная характеристика генеральной совокупности, функция от наблюдаемых случайных величин. Далее речь пойдет о точечном оценивании параметров распределения.

Рассмотрим свойства точечных оценок.

А) Несмещенной оценкой параметра θ называется статистическая оценка θ* , математическое ожидание которой равно θ: М(θ*)= θ.

Если М(θ*) > θ (или М(θ*) < θ ) , то возникает систематическая ошибка (неслучайная ошибка, искажающая результаты измерений в одну сторону). Несмещенность оценки является гарантией защиты от систематических ошибок.

Б) Однако несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения θ* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения (дисперсия D(θ*) может быть велика). Тогда найденная по данной выборке оценка, например θ*₁, может оказаться удаленной от М(θ*), а значит и от θ. Поэтому естественным вслед за несмещенностью, является требование малости дисперсии.

Эффективной называют оценку, которая при данном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

В) При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Состоятельной называют оценку, которая при n→∞ по вероятности стремиться к оцениваемому параметру:

Например, если дисперсия несмещенной оценки стремиться к нулю при n→∞, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Перейдем к оцениванию параметров распределения.

Параметры распределения – это его числовые характеристики. Они указывают, где в среднем располагаются значения признака (мера положения), насколько значения изменчивы (мера рассеяния), и характеризуют отклонение распределения от нормального (мера формы). В реальных условиях исследования мы оперируем не параметрами, а их приближенными значениями – оценками параметров, которые являются функциями от наблюдаемых величин. Заметим, что чем больше выборка, тем ближе может быть оценка параметра к его истинному значению.

Пусть x₁, x₂, … x_к вариационный ряд и n₁, n₂, … n_к - частоты соответствующих вариант, n – объем выборки.

5.1.1. Показатели положения

Выборочная средняя (оценка математического ожидания) – характеризует центр группирования данных (мера положения). Обозначается , вычисляется по формуле:

Если дано интервальное статистическое распределение, то выборочная средняя определяется для соответствующих интервалов .

Где  середина интервала .

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной оценкой.

Медиана - значение признака, приходящееся на середину упорядоченного по возрастанию вариационного ряда. Если ряд состоит их (2N+1) вариант, то медианой является (N+1)-е значение варианта, если ряд состоит из 2N вариант, то медиана равна полусумме N – го и (N+1) – ого значений вариант.

Мода - вариант с наибольшей частотой. Если таких вариант несколько (у них одна и та же частота), то распределение называют полимодальным.