1.8 Задание к лабораторной работе №3

Задание № 1.1. Числовые значения для этой части работы находятся в таблице 3.1.

С помощью встроенных команд Maple выполнить аналитическое исследование и решение ОДУ модели «Динамика популяций» (1.2): тип и автономность, упростить решение и проверить его правильность и непрерывность на интервале t [0;+1], найти точки сингулярности, максимальную и минимальную численность популяции, её предельную скорость роста для заданных параметров модели.

Определите момент времени, когда скорость роста биомассы максимальна. Постройте графики: скорости роста биомассы dx/dt, касательную к точке перегиба (максимальной скорости роста), изменение количества популяции и её скорости (ускорения d²x/dt²) во времени.

Задание № 1.2. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2, 3.3.

С помощью встроенных команд Maple выполнить аналитическое исследование СДУ, которая описывает взаимодействие популяций в модели Вольтерра-Лотка «Хищник-жертва» (1.4): тип и автономность, точки соответствующие началу и окончанию роста популяций (координаты стационарной точки).

Получить приближенное решение СДУ (1.4) методом разложения в ряд 3-го порядка и построить графики полиномов: x(t) и y(t) .

С помощью команд Maple найти точное решение СДУ (1.4) численным методом указанным в варианте задания и построить: двухмерную развёртку во времени; двухмерный фазовый портрет c предельными циклами для 2-х вариантов начальных условий; трёхмерный фазовый портрет динамики численностей во времени с одним постоянным фокусом колебаний.

Задание № 1.3. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2, 3.3.

Подобно предыдущей работе 1.2 надо выполнить анализ и найти численное решение СДУ (1.5) как для задачи Коши. Результаты представить двухмерной развёрткой во времени, двухмерным фазовым портретом с незамкнутой фазовой траекторией и трёхмерным фазовым портретом (см. пример выполнения).

Задание № 1.4. Численные методы решения СДУ, начальные условия и параметры модели для этой части работы находятся в таблицах 3.2 и 3.4, 3.5.

Подобно предыдущей работе 1.2 надо выполнить анализ и найти численное решение модели «Корнеплоды – Зайцы – Волки», заданной СДУ (1.6) как для задачи Коши.

Представить в виде графиков двухмерной развёртки во времени результаты модельных экспериментов антропогенного влияния на экосистему (1.6):

1) полное уничтожение корнеплодов;

2) полное истребление зайцев и волков;

3) частичное истребление волков на протяжении определённого периода времени (сезон охоты);

4) внезапный выброс загрязняющего вещества (авария), снижающего репродуктивность травоядных (зайцев).

В последнем случае дополнительно представить трёхмерный фазовый портрет динамики всех популяций (см. пример выполнения в приложении).

1.9. Варианты заданий

Таблица 3.1. Начальные условия и параметры модели «Динамика популяций» (№ - вариант)

Таблица 3.2. Численные методы решения СДУ в CKM Maple

Таблица 3.3. Начальные условия (ini1, ini2) и параметры модели Вольтерра – Лотка «Хищник - Жертва» (№ - вариант).

Таблица 3.4. Параметры модели трофической цепи «Продуценты – Консументы - Редуценты» (№ - вариант)

Таблица 3.5. Начальные условия (ini) модели трофической цепи «Продуценты – Консументы - Редуценты» (№ - вариант). x0₁ = y0₂ = z0₂ = 0, x0₃ = x0₂, z0₃ = z0₁

m₁= n₁ = 1, m₂ = 1, n₂ = 2.5

Начальные количества (iniJ) для таблицы 3.5.: x0_J – корнеплодов, y0_J – зайцев, z0_J - волков, для модельного эксперимента антропогенного воздействия J:J = 1 – полное уничтожение корнеплодов (ini1), J= 2 – полное истребление зайцев и волков (ini2), J = 3 – два варианта: частичное истребление волков и выбросов загрязняющего вещества, снижающего репродуктивность травоядных (ini3).