1.3 Модель Вольтерра-Лотка «Хищник – Жертва». Приближённое и численное решение дифференциальных уравнений и их систем средствами Maple.

В условиях реального биоценоза каждая входящая в него популяция взаимодействует одновременно со множеством других, причём эти взаимодействия могут относиться к различным типам, основными из которых являются: нейтрализм, конкуренция, антагонизм, хищничество, паразитизм, мутализм, симбиоз и пр.

Поскольку популяции нескольких видов оказывают влияние друг на друга, возникают связанные системы дифференциальных уравнений (СДУ), как, например, в модели Вольтерра-Лотка .Хищник - жертва.

В этой модели между особями одного вида нет соперничества. Животные-жертвы x(t) при отсутствии хищников размножаются пропорционально своей численности с коэффициентом приращения g > 0, а животные-хищники y(t) при отсутствии добычи (жертв) вымирают пропорционально своей численности с коэффициентом s > 0.

Из-за встреч жертв с хищниками (вероятность встречи пропорциональна произведению обеих популяций) количество жертв уменьшается (с коэффициентом а > 0), а количество хищников возрастает (с коэффициентом b > 0). Описание этих процессов представлено следующей СДУ:

Таким образом, в модели предполагается экспоненциальный закон прироста жертв (при отсутствии хищников) и убыли хищников (при отсутствии жертв). Теперь чтобы начать биологическую игру, надо задать начальные численности: для жертв - x₀, а для хищников - y₀.

Как обычно, поиск решения явной (разрешенной относительно старшей производной) СДУ (3.4) начинают с анализа типа уравнений (команда odeadvisor) и проверкой на автономность (autonomous).

Координатами стационарной точки (3.4) будут являться точки экстремумов - соответствующие началу роста популяций, т.е. минимумам функций x(t) и y(t):

y_v = g/a - численность хищников, соответствующая началу и окончанию роста жертв d/dt*x(t) = 0.

x_v = s/b - численность жертв, соответствующая изменению хищников d/dt*y(t) = 0.

Эти результаты находят командой solve (см. пример выполнения).

Далее командой dsolve с параметром series находят приближенное решение СДУ (3.4) методом разложения в полиномы 3-го порядка. Порядок задают системной переменной Order. Результаты представляют рисунком командами plot и display.

Следующим этапом находят численное (более точное) решение. Для этого вызывают команду dsolve с параметрами numeric и method=MET.

В качестве MET берут название метода численного интегрирования для своего варианта из таблицы 3.2.

Результаты представляют с помощью графических команд:

1) plots - двухмерная развёртка во времени колебания численности популяций жертв и хищников (риc. 3.2);

2) phaseportrait - двухмерный фазовый портрет динамики численностей с предельными циклами для 2-х вариантов начальных условий (рис. 3.3);

3) DEplot3d — трёхмерный фазовый портрет динамики численностей во времени с одним постоянным фокусом колебаний.

Полученный в пункте 1 график (риc. 3.2) показывает, что процесс имеет колебательный характер. Вначале хищники уничтожают много жертв, и их популяция не успевает восстанавливаться. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников, и, когда число жертв достигает величины x_v = s/b число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением жертв.

Сокращение популяции происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины y_v = g/a. С этого момента начинает расти популяция жертв. Через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и процесс повторяется снова и снова. На риcунке 3.2 четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин x_v = s/b и y_v = g/a.

Периодичность процесса проявляется и на фазовой плоскости, которая получена в пункте 2: фазовая кривая x(t), y(t) - замкнутая линия (рис. 3.3).

Самая левая точка y_v = g/a - точка, где число жертв достигает наименьшего значения, а самая правая - пик их численности. Между этими точками хищники сначала убывают до нижней точки x_v = s/b, где достигают минимума, а затем растут до верхней точки кривой.

Таким образом, фазовая кривая охватывает точку с координатами x_v = s/b , y_v = g/a, а система (3.4) имеет стационарное состояние.

Если в начальный момент система находится в стационарной точке, то численности популяций x(t), y(t) не будут изменяться во времени и останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию численностей. Не эллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает не гармонический характер колебаний.