1.2. Логистическая модель «Динамика популяций». Аналитическое решение оду и их исследование средствами Maple
Наиболее простым описанием динамики отдельно взятой популяции может служить классическая логистическая модель. Динамика популяций., предложенная П. Ферхлюстом в начале XIX века для описания динамики человеческого населения и Р. Пёрлом уже в 20-е годы XX столетия применительно к биологическим сообществам. Здесь, как и в других моделях к основным динамическим показателям, которые характеризуют изменения в популяции с течением времени, относят: рождаемость, смертность и скорость прироста. Сама модель сформулирована следующим образом.
В благоприятных условиях находится некоторое сообщество особей одного вида (популяция), которое в момент времени t0 = 0 имеет численность (биомассу) x0. В каждый последующий момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже имеющейся. Возникающие явления отмирания за счёт внутривидовой конкуренции снижают численность популяции пропорционально квадрату имеющейся в наличии.
Если обозначить численность популяции в момент времени t через x, а ее изменение за время ∆t через ∆x, тогда можно записать следующие приближенные равенства:
∆x+ ≈ ∆k * x * ∆t - изменение численности популяции за счет естественного прироста и смертности;
∆x− ≈ −α * x2 * ∆t - уменьшение за счет внутривидовой конкуренции.
Складывая два процесса получаем:
где k - коэффициент максимальной удельной скорость роста популяции, который представляет собой разность между естественным приростом A и смертностью B: k = A− B;
α — коэффициент внутривидовой конкурентной борьбы.
В дифференциальной форме соотношение (3.1) имеет вид:
Это ОДУ и представляет собой модель изменения численности популяции во времени. Теперь для того чтобы найти какова биомасса будет в определенный момент t, нет необходимости ждать (и это не всегда возможно) - достаточно воспользоваться моделью (3.2).
Уравнение (3.2) является классическим ОДУ первого порядка с разделяемыми переменными. Его тип и автономность определяют с помощью команд odeadvisor и autonomous:
[_quadrature], true
Полученный результат говорит о том, что аналитическое решение (3.2) и анализ можно осуществить с помощью команды dsolve.
Вначале, чтобы преобразовать (3.2) к зависимости численности популяции x от времени t, т.е. получить решение, например, в виде задачи Коши необходимо задать начальные условия x(t0) = x0. Далее решение упрощают Maple командой simplify и получают искомую зависимость:
Правильность решения (3.3) проверяют командой odetest.
Далее проводят математическое исследование уравнения (3.3). Вначале выполняют проверку на непрерывность и сингулярные точки в области [0;+1].
Следующий важный прикладной вопрос: Когда и сколько с популяции без ущерба для неё собирать «урожая», т.е. изымать её часть из экосистемы, чтобы суммарный «урожай» был бы максимален. Момент времени t, когда скорость прироста биомассы максимальна находят, используя команду solve:
В дальнейшем это значение подтверждается расчётом экстремума командой extrema.
Полученный результат таков (рис. 3.1): начиная с этого момента tv необходимо вести непрерывный сбор урожая поддерживая величину биомассы не выше значения, которое находят опять командой solve, но для параметра x0:
Максимально возможную численность популяции (ёмкость среды) находят с помощью команды предела Limit для условия её бесконечно большой продолжительности существования:
Этот же результат, но в числовом виде получают и с помощью команды maximize. В этих условиях скорость изменения численности популяции будет стремиться к нулю:
Минимум численности популяции находят командой minimize.
Удобным средством экспресс исследования является графическое представление результатов. Для такого анализа в работе используется команда из пакета student - showtangent(f(x),x=a), которая показывает на графике касательную к функции f(x) в точке x=a.
С помощью графических команд plot и display получают графики изменения функций x(t), dx/dt и d2x/dt2.
В следующей части рассмотрены ситуации межвидового взаимодействия популяций и учет этого обстоятельства значительно усложняет модели.