- •Содержание
- •Введение
- •1 Общие положения математического моделирования
- •1.1 Понятие моделирования
- •1.2 Особенности применения моделирования в экономике
- •1.3 Классификация экономико-математических моделей
- •1.4 Основные этапы процесса моделирования
- •2. Оптимизационные модели
- •2.1. Теоретическая часть
- •2.1.1 Понятие оптимального программирования
- •2.1.2 Линейное программирование
- •2.1.3 Постановка двойственной задачи
- •2.1.3 Экономическая интерпретация двойственной задачи
- •2.1.4 Пример
- •2.1.5 Excel. Поиск решений
- •2.2. Порядок выполнения работы
- •3. Исследование производственных функций
- •3.1.Теоретическая часть
- •3.2 Порядок выполнения работы
- •4. Игровые модели в экономике
- •4.1. Теоретические сведения
- •4.1.1 Матричные игры с нулевой суммой
- •4.1.2 Статистические игры. Критерии для принятия решений
- •4.2 Задания
- •5. Имитационное моделирование
- •5.1. Теоретические сведения
- •5.2 Задания Задание 1
- •Задание 2
- •Список литературы
4.1.1 Матричные игры с нулевой суммой
Основная задача теории игр состоит в нахождении таких способов ведения игры для каждого игрока, которые в максимальной степени и с гарантией обеспечивают их интересы при любых ответных действиях противника. Возможные варианты (исходы) игры можно свести в прямоугольную таблицу, называемую платежной матрицей. Рассмотрим игру, которая задана платежной матрицей произвольного порядка m n.
Стратегии игрока В
Стратегии игрока
А
(1)
Строки этой таблицы соответствуют стратегиям выигрывающего игрока А, столбцы соответствуют стратегиям проигрывающего игрока В. Деление участников игры на выигрывающих и проигрывающих является условным, поскольку выигрыши могут быть выражены положительными и отрицательными числами. Положительный выигрыш для игрока А означает его действительный выигрыш, а отрицательный — его проигрыш. В результате выбора пары стратегий ( Аi, Вk ) игрок А получает от В выигрыш аik, который указан в платежной матрице на пересечении i-й строки и k-го столбца.
Два игрока независимо друг от друга называют номер строки и номер столбца. На пересечении определяется выигрыш. На этом заканчивается одна партия игры. В следующей партии игры снова происходит выбор строки и столбца. В теории игр предполагается, что разыгрывается не одна, а целый ряд партий. При большом количестве сыгранных партий игрок А стремится получить от игрока В как можно больший средний выигрыш при любых ответных действиях В, а игрок В стремится воспрепятствовать этому и проиграть как можно меньше, так чтобы средний проигрыш был минимальным при любых ответных действиях игрока А.
Матричные игры с седловой точкой
Пример 1. Игра задана платежной функцией следующего вида:
= 3
По каждой строке определяем минимальное число i и из них выбираем максимальное. По каждому столбцу определяем максимальное число j и из них выбираем минимальное.
Максимальный гарантированный выигрыш игрока А совпадает с минимальным гарантированным проигрышем игрока В и равен = = 3 единицам. Это число является наименьшим в своей строке и наибольшим в столбце. Такой элемент матрицы называется седловой точкой.
= max i = max min ij = min j = min max ij
i j j i
Стратегия, которая доставляет игроку А максимальный гарантированный выигрыш равный , называется максиминной стратегией игрока А. Величина называется нижней ценой игры. Стратегия, которая доставляет игроку В минимальный проигрыш равный , называется минимаксной стратегией игрока В. Величина называется верхней ценой игры. Важное свойство экстремальных стратегий в играх с седловой точкой состоит в том, что отклонение от экстремальной стратегии только одного игрока А может ухудшить положение отклонившегося.
Для произвольной платежной матрицы нижняя цена игры не превосходит верхней цены игры: . Решение игры, то есть нахождение наилучших способов ведения игры производится по-разному, в зависимости от того, будет ли = или < . Если = , то их общее значение = = V называется ценой игры.
Матричные игры без седловой точки
Пример 2. Игра задана платежной матрицей следующего вида:
Поскольку < , седловой точки у матрицы нет.
Решение матричной игры можно упростить, выявив доминирование одних стратегий над другими. Поскольку игрок В заинтересован в минимизации проигрыша, доминирующим будет столбец с наименьшими элементами. Игрок А заинтересован в максимизации выигрыша, доминирующей будет строка с наибольшими элементами.
Пример 3.
1 0 3 5
Н = 3 2 4 3
0 1 -1 4
В матрице Н для игрока В заведомо невыгодной является четвертая стратегия, так как все значения аi4 превышают соответствующие значения элементов первого и второго столбца. Четвертый столбец матрицы можно исключить (игрок В никогда не воспользуется этой стратегией).
Смешанной стратегией игрока называется случайное чередование отдельных (чистых) его стратегий и применение каждой из них с определенной вероятностью. Смешанную стратегию игрока А, состоящую в применении его чистых стратегий , ,..., с вероятностями p1, p2, ..., pm будем обозначать вектором P = ( p1, p2, ..., pm ). Аналогично для игрока В будем обозначать вектором Q = ( q1, q2 ,..., qn ).
Очевидно, что pi 0 и qk 0 при (i = 1, 2, ..., m; k = 1, 2, ..., n)
р1 + р2 + ... + рm = 1
q1 + q2 + ... + qn = 1
Применение игроком только одной чистой стратегии можно рассматривать как частный случай смешанной стратегии, в которой вероятность применения стратегии равна единице, а вероятность применения остальных чистых стратегий равна нулю.
Математическое ожидание выигрыша игрока зависит от матрицы игры и от избранных игроками стратегий. Функция f(P,Q) называется платежной функцией игры. Если известны смешанные стратегии P и Q, то можно найти среднее значение выигрыша, который получает игрок А от В при многократном повторении игры.
Стратегии P* и Q* называются оптимальными, если выполняется следующее соотношение:
f (P,Q*) f (P*,Q*) f (P*,Q)
Значение платежной функции f(P*,Q*) при применении игроками своих оптимальных стратегий представляет собой наибольший гарантированный выигрыш игрока А и одновременно наименьший гарантированный проигрыш игрока В. Эта величина называется ценой игры.
V = f (P*,Q*)
Пара оптимальных стратегий P*,Q* каждого игрока и цена игры V называется решением игры.
Основная теорема теории игр утверждает, что всякая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях. Игра может иметь бесконечно много решений, но цена игры всегда определяется однозначно.
Свойства цены игры и оптимальных стратегий
1. V
2. Если ко всем элементам платежной матрицы прибавить любое число, то оптимальные стратегии игроков останутся прежними, а цена игры изменится на величину С и будет равна: V + C.
3. Для того чтобы смешанные стратегии P и Q были оптимальными для игроков А и В, необходимо и достаточно выполнение неравенств:
Если игрок А применяет оптимальную смешанную стратегию Pi*, а игрок В любую чистую стратегию , то выигрыш игрока А будет не меньше цены игры. Если игрок В использует оптимальную смешанную стратегию Q*, а игрок А любую чистую стратегию , то проигрыш игрока В не превысит цены игры.
Для примера 2 запишем:
Последовательность действий при решении матричных игр с нулевой суммой:
Нахождение нижней цены игры.
Нахождение верхней цены игры.
Если = , то решение игры найдено и равно V.
Если седловой точки нет, то есть , тогда цена игры находится в пределах: V . Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии каждого игрока и цену игры.
Сокращение, если возможно, размерности матрицы, то есть удаление дублирующих и доминируемых строк и столбцов. В играх с природой стратегии природы сокращать нельзя. Можно сокращать лишь стратегии лица принимающего решения (ЛПР).
Решение на компьютере (в MS Excel).
Формулировка выводов на основании полученных результатов.