1.6.6. Метод неопределенных коэффициентов

Найдем разложение на простейшие дроби для .

Общий вид разложения в этом случае

.

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем

x²-1=A(x²+1)²+(Bx+C)x+(Dx+E)( x²+1)x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

поэтому искомое разложение имеет вид:

.

1.6.7. Метод вычеркивания

Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби имеет вещественное число а корнем кратности . Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь , есть дробь . Коэффициент , где .

Правило: для вычисления коэффициента А при простейшей дроби , соответствующей вещественному корню а многочлена Q(x) кратности , следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку и в оставшемся выражении положить х=а. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).

Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда

Q(x)=(x-a₁)(x-a₂)... (x-a_n). Тогда справедливо представление

,

все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента А_к следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку (х-а_к) и в оставшемся выражении положить х=а_к.

Найти разложение дроби

Отсюда

Замечание. Метод вычеркивания снижает трудоемкость вычислений и в более сложных случаях.

Разложить правильную дробь

на простейшие дроби.

x²+1 имеет комплексные корни 

Метод неопределенных коэффициентов приводит к системе 5-го порядка. Если же В определить методом вычеркивания, то система будет уже только 4-го порядка.

1.6.8. Интегрирование некоторых классов функций

1.6.8.1. Интегрируемость рациональной дроби

Прежде всего отметим, что всякую неправильную рациональную дробь можно (посредством деления числителя на знаменатель “уголком”) представить в виде суммы алгебраического многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример.

Остаток 1+4х

Интегрировать многочлен мы умеем. В силу теоремы о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на простейшие, вопрос сводится к интегрированию простейших дробей:

1. II. III.

IY.

Здесь =2,3,...; =2,3,...; В, М, N, b, p, q - некоторые вещественные числа, причем трехчлен х²+px+q не имеет вещественных корней, т.е.

p²-4q<0.

I.

II.

Здесь t=x-b

III.

Положим

Произведя подстановку , будем иметь

IY. Аналогично III получаем

Обозначим . Установим для этого интеграла рекуррентную формулу

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям, полагая в ней u=t, du=dt

Отсюда

Используя рекуррентную формулу, вычислим К₂, K₃, ... и т.д.

Замечание. На практике К_ чаще вычисляют непосредственно с помощью подстановки t=atgu

Примеры.

1.

,

2. Вычислим .

Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим

.

Правильную рациональную дробь разложим на простейшие

, отсюда