1.6.4. Таблица основных неопределенных интегралов

Ранее мы получили таблицу производных основных элементарных функций. Каждая формула таблицы производных простейших элементарных функций, устанавливающая, что та или иная функция F(x) имеет производную f(x), приводит нас, в силу определения неопределенного интеграла, к соответствующей формуле интегрального исчисления

.

Таким образом, приходим к следующей таблице интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

(-1<x<1)

11.

12. (x в случае знака ““)

13.

14.

15.

16.

17. 

Замечание 1. Доказательство формул 12 и 13 следует провести непосредственным дифференцированием правых частей и проверкой совпадения результата с подынтегральными функциями слева.

Замечание 2. Операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций, однако можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями, например,

- интеграл Пуассона.

Теорема 2. Пусть функция (х) определена и дифференцируема на множестве М. Пусть, далее, для функции g(u) существует первообразная функции G(u) на множестве ,т.е

.

Тогда на множестве М для функции существует первообразная, равная G[(x)], т.е.

(1)

Доказательство. По теореме о производной сложной функции имеем

.

Но по определению первообразной есть g(u), поэтому

.

Таким образом, G((x)) является первообразной функции на множестве М, и формула (1) доказана.

Существует два варианта метода замены переменной.

а) Метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существует дифференцируемая функция (х) и функция g(u) такие, что подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано в виде

.

Это преобразование называется подведением (х) под знак дифференциала. По теореме 2 имеем

Поэтому вычисление сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=(x).

Пример.

Пример.

.

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл . Введем новую переменную u формулой x=(u), где (u) строго монотонная дифференцируемая функция.

Подставим x=(u) в исходное подынтегральное выражение, получим

По теореме 2 справедливо равенство

,

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=^-1(x)

Пример , x>0. Положим x=u² u(0,+); u² строго монотонна на этом множестве, , откуда

.

Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того, следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя.

Рассмотрим еще один пример, который позволит нам расширить таблицу интегралов

.

Аналогично вычисляются следующие интегралы:

.

1.6.5. Интегрирование по частям

Теорема. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на множестве М и, кроме того, на этом множестве существует первообразная для функции . Тогда на множестве М существует первообразная для функции и справедлива формула

(1)

Замечание 1. В концевых точках множества М (если М - сегмент) рассматриваются односторонние производные.

Замечание 2. Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяют записать эту формулу в виде

Доказательство теоремы. Запишем формулу для производной произведения функций u(x) и v(x).

.

Умножим последнее равенство на dx и возьмем интеграл от обеих частей полученного равенства. Так как по условию на М существует

, то на М существует

и справедлива формула

Включая произвольную постоянную С в , получим формулу (1).

Формула (1) сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла . В ряде конкретных случаев этот последний интеграл проще исходного.

Вычисление интеграла посредством применения формулы (1) называют интегрированием по частям.

Примеры:

1⁰.

u=lnx, dv=xⁿdx;

2⁰.

3⁰.

Еще раз применим формулу интегрирования по частям

4⁰.

Еще раз применим формулу интегрирования по частям

Это равенство понимается как равенство множеств (т.е. как равенство представителей множеств J и e^xsinx+e^xcosx-J) c точностью до произвольной постоянной, поэтому отсюда получаем

5⁰.

Добавим и вычтем а² в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя деление на , будем иметь

Подставим это выражение в формулу (2), получим

Отсюда

6⁰. Проводя аналогичные вычисления, легко получить, что

.

Теорема 3. Пусть - правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

Тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

(1)

В этом разложении - некоторые вещественные постоянные, часть которых может быть равна 0.

Замечание. Для определения постоянных в общем случае следует привести равенство (l) к общему знаменателю и после этого сравнить коэффициенты при одинаковых степенях в числителях. При этом, если степень многочлена Q(x) равна s, то вообще говоря, в числителе правой части равенства (1) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени s-1, т.е. многочлен с s коэффициентами, число же неизвестных также равняется s.

Таким образом, мы получаем систему s уравнений с s неизвестными. Существование у нее решения вытекает из доказательства теоремы.

Рассмотрим основные методы разложения на простейшие дроби.