- •1.2. Кривые второго порядка Для замечаний
- •1.2. Кривые второго порядка
- •1.2.1. Эллипс
- •1.2.1.1. Определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- •1.2.1.2. Исследование формы эллипса
- •1.2.1.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы эллипса
- •1.2.2. Гипербола
- •1.2.2.1. Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- •1.2.2.2. Исследование формы гиперболы
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •1.2.2.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
- •Фокальные радиусы
- •1.2.3. Парабола
- •1.2.3.1. Определение параболы и ее уравнение
- •1.2.3.2. Исследование формы параболы
- •1.2.4. Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы
- •1.2.4.1. Директриса эллипса гиперболы и параболы
- •1.2.4.2. Полярное уравнение кривой второго порядка
1.2.4.2. Полярное уравнение кривой второго порядка
Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.
Пусть дана произвольная из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L (если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви).
Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.
Возьмем на кривой произвольную точку М(;), соединим ее отрезком FM с фокусом и опустим перпендикуляр МК на директрису. Кроме того, из точки F проведем перпендикуляр FR к полярной оси до пересечения с кривой в точке R, а из точки R опустим перпендикуляр RQ на директрису (Рис. 12).
|
Обозначим FR=p и будем называть это число фокальным параметром. На основании общего свойства кривых второго порядка По тем же соображениям: или , откуда
|
Подставим найденные выражения для FM и КМ в равенство , получим:
(3)
Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в полярных координатах. При <1 кривая является эллипсом, при >1 - ветвью гипиерболы, при =1 - параболой.
Фокальный параметр Р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того, чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса и гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр Р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выведении канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОY).
Подставляя вместо координат точки М(х;у) в уравнение эллипса координаты точки (-с;р), получим:
или ,
откуда следует
Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с;р), получим:
или ,
откуда следует соотношение
.
Рассмотрим несколько задач на кривые второго порядка:
Задача 1.
Дано уравнение гиперболы 16х2-9у2=144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.
Решение.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:
или ,
откуда а=3, b=4, , эксцентриситет = .
Действительная ось 2а=6; мнимая ось 2b=8.
Уравнения директрис: .
Уравнения асимптот: .
Задача 2.
Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, зная, что он проходит через точки М1(2;3) и М2 .
Решение.
Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, его каноническое уравнение будет иметь вид: и вместо текущих координат подставим в это уравнение сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2. Из получившейся системы уравнений:
определим параметры эллипса а и b.
Обозначив
, ,
получим следующую систему уравнений:
.
Решая ее, получим, что:
,
откуда а2=16, b2=12.
Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:
.
Задача 3.
Найти вершину, фокус, ось и директрису параболы
у = -2х2 +16х-29.
Решение.
Преобразуем данное уравнение следующим образом:
Отсюда .
Обозначив х`= х-4 и у`= у-3, перейдем к новой системе координат O`x`y`, начало которой находится в точке O`(4;3), а оси O`x` и O`y` сонаправлены с осями Ох и Оу. В результате получим простейшее уравнение данной параболы
’.
Отсюда , то есть . Итак, вершина параболы находится в точке O`(4;3); координаты фокуса
xF = xO` = 4;
то есть F ; уравнение оси параболы x = xO` = 4, то есть х-4=0; уравнение директрисы , то есть 8y-25=0.
Задача 4.
Уравнение эллипса привести в полярной системе координат к уравнению вида
.
Решение:
Найдем из данного уравнения параметры a, b, c, затем найдем эксцентриситет и фокальный параметр эллипса :
а2=4, b2=3, c2=1, , .
Искомое уравнение будет иметь вид:
или .
Задача 5.
Данное уравнение кривой в полярных координатах
Привести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.
Решение.
В данном уравнении , . Так как эксцентриситет >1, то данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой b2=c2-a2. Таким образом, данные параметры могут быть записаны в виде системы двух уравнений
Из этой системы находим, что а=1, с=3, b2=8. Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид:
.