1.2.4. Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы

1.2.4.1. Директриса эллипса гиперболы и параболы

Построим эллипс, заданный каноническим уравнением . Затем построим две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса, на расстоянии (Рис. 1). Эти прямые, уравнения которых будут: и , называются директрисами эллипса.

Рис. 10

При их построении следует учесть, что >a, так как эксцентриситет эллипса >1.

Правая директриса, уравнение которой , будет проходить правее вершины эллипса А₁, а левая директриса, уравнение которой , - левее вершины эллипса А₂ (Рис. 10).

Построим гиперболу, заданную каноническим уравнением

и две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и симметрично расположенные относительно центра на расстоянии, равном (Рис. 11):

Рис.11

Эти прямые (их уравнения и ) называются директрисами гиперболы (соответственно, правой и левой).

При их построении следует учесть, что <a, так как эксцентриситет гиперболы >1.

Правая директриса гиперболы будет проходить левее правой вершины гиперболы А₁, а левая директриса гиперболы будет проходить правее левой вершины гиперболы А₂.

С помощью директрис и эксцентриситета можно выявить общее свойство, присущее кривым второго порядка: эллипсу, гиперболе и параболе. Имеет место следующая теорема: отношение расстояний от произвольной точки М(х;у) любой из этих кривых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой. Докажем эту теорему последовательно для эллипса, гиперболы и параболы.

Доказательство. Пусть у эллипса F₁ - правый фокус, прямая D₁L₁ - правая директриса. F₂ - левый фокус, D₂L₂ - левая директриса (Рис. 1). Возьмем на эллипсе произвольную точку М(х;у), соединим ее отрезками MF₁ и MF₂ (MF₁=r₁, MF₂=r₂) c фокусами и опустим из нее перпендикуляры МК₁ и МК₂ на обе директрисы (МК₁=d₁ и MK₂=d₂) и на ось ОХ. Требуется доказать, что

.

На основании выведенных ранее формул имеем:

r₁ = a - x, r₂ = a + x,

(Здесь N - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось ОХ)

Вычисляя отношения и , получим:

Таким образом, данная теорема для эллипса доказана.

Пусть у гиперболы F₁ - правый фокус, D₁L₁ - соответствующая ему правая директриса, F₂ - левый фокус, D₂L₂ - соответствующая ему левая директриса (Рис. 11). Возьмем на гиперболе произвольную точку М(х;у), соединим ее c фокусами F₁М=r₁, F₂М=r₂, затем из точки М опустим перпендикуляры на обе директрисы К₁М=d₁ и K₂М=d₂. Требуется доказать, что

.

Применяя выведенные ранее формулы, получим:

r₁ = -a + x, r₂ = a + x,

и, следовательно

Таким образом, данная теорема доказана и для гиперболы.

Что касается параболы, являющейся геометрическим местом таких точек, которые равноудалены от фокуса и директрисы, то для любой точки параболы будет справедливо равенство , где d - расстояние от точки параболы до директрисы. Иначе, отношение расстояний от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равно единице. По аналогии с остальными кривыми второго порядка, это постоянное отношение называют эксцентриситетом параболы. Следовательно, эксцентриситет параболы равен единице. Теорема полностью доказана.

Следствие. Для рассматриваемых кривых второго порядка можно дать следующее общее определение: кривые второго порядка есть геометрические места точек на плоскости, отношение расстояний которых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная , причем у эллипса <1, у гиперболы >1, у параболы =1.