1.2.2.3. Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине ее действительной оси:

или

Так как у гиперболы с>a, то эксцентриситет гиперболы больше единицы. Эксцентриситет характеризует отношение сторон основного прямоугольника, а следовательно, и форму самой гиперболы.

Фокальные радиусы

Из определения гиперболы (для правой ветви) следует:

Так как r₁ - r₂ = 2a, то .

Таким образом, получаем формулы, выражающие фокальные радиусы любой точки М(х;у) правой ветви через х:

(1)

Для левой ветви эти формулы примут вид:

(2)

Выражая формулы (1) и (2) через эксцентриситет, получим для точек правой ветви гиперболы:

(3)

для точек левой ветви гиперболы:

(4).

1.2.3. Парабола

1.2.3.1. Определение параболы и ее уравнение

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Для вывода уравнения параболы за ось ОХ возьмем прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе. За положительное направление оси абсцисс возьмем направление от директрисы к фокусу.

Рис. 7

За начало координат возьмем точку 0, которая делит пополам отрезок от директрисы до фокуса. Длину этого отрезка, который называется параметром параболы, обозначим через Р. Фокус F будет иметь координаты , а координаты точки оси ОХ, через которую проходит директриса, будут .

Возьмем произвольную точку М(х;у), лежащую на параболе, соединим ее прямой с точкой F, а затем опустим из точки М на директрису перпендикуляр МК. Длина отрезка, соединяющего точку М(х;у) параболы с фокусом, называется фокальным радиусом этой точки и обозначается через r (Рис. 1).

Согласно определению параболы:

FM = KM (1)

Определяя FM и КМ по формуле расстояния между двумя точками, получим:

Следовательно,

(2)

Уравнению (2) будут удовлетворять координаты каждой точки параболы.

Приведем уравнение параболы к более удобному виду, для чего возведем обе части равенства (2) в квадрат:

Откуда,

у² = 2рх (3)

Уравнение (3) называется каноническим уравнением параболы. Сопоставляя равенства (1) и (2), можно выразить фокальный радиус точки М(х;у) параболы через абсциссу этой точки:

(4).

1.2.3.2. Исследование формы параболы

Для определения вида параболы найдем у из канонического уравнения параболы:

.

Из уравнения (3) п.7 следует, что х не может быть отрицательным. При х=0, y = 0, следовательно, точка О(0;0) лежит на параболе. Затем заключаем, что каждому значению х>0 соответствует два значения у, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Следовательно, парабола представляет собой кривую, расположенную вправо от начала координат и симметричную относительно оси абсцисс.

Рис. 8

Из формулы (3) п.7 следует, что по мере возрастания х возрастает и |у|, и когда х неограниченно растет, то и у по абсолютной величине неограниченно растет.

У параболы, заданной каноническим уравнением у²=2рх, осью симметрии является ось абсцисс. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. В данном случае вершина параболы лежит в начале координат. Заметим, что у параболы одна вершина, у гиперболы - две, у эллипса - четыре.

Проведем на Рис. 1 фокальный радиус перпендикулярно оси симметрии и определим длину LF по формуле (4) п.7. Так как абсцисса точки L равна , то r=р. Следовательно, число Р равняется длине фокального радиуса, перпендикулярного к оси симметрии. В связи с этим число Р называют фокальным параметром параболы.

Парабола, уравнение которой у²=2рх, р>0, является кривой, расположенной справа от оси ординат.

Кривая, уравнение которой у²=-2рх, р>0, будет также параболой. Вершина этой параболы лежит в начале координат, осью симметрии является ось абсцисс. Все точки этой параболы лежат слева от оси ординат (Рис. 9, а)

а)	б)	в)

Рис. 9

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что уравнение х²=2ру, р>0, является уравнением параболы, вершина которой лежит в начале координат, осью симметрии является ось ординат (Рис. 9, б). Эта парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение же вида х²=-2ру, р>0, является уравнением параболы, лежащей ниже оси абсцисс, с вершиной в начале координат. Осью симметрии этой параболы является ось ординат. (Рис. 9, в).

Примечание. Условимся, наглядности ради, говорить, что “ветви” параболы у²=2рх (р>0) “направлены вправо”, “ветви” параболы х²=2ру (р>0) “направлены вверх” и т. д.