Модель пересекающихся поколений

Всё это время мы рассматривали случай, когда сеньораж получают только благодаря спросу, существующему внутри валютного союза. Но на евро так же существует значительный спрос со стороны стран, не являющихся членами ЕС и не использующих евро в качестве национальной валюты. Таким образом у нас возникает вопрос о возможности взимания сеньоража с других стран и о влиянии этой возможности на общее благосостояние союза. Для этого рассмотрим простую модель пересекающихся поколений¹⁴.

Предпосылки модели:

1. В модели 2 типа агентов, живущих 2 периода, 2 страны (например, Евросоюз и остальной мир (ROW)) и 2 актива, поддерживаемые государством. (Это либо очень ликвидные гос. облигации, приносящие процент, или валюта)

2. Агенты получают «фонд» в виде товара в первом периоде, но хотят потреблять только во втором периоде.

3. 2 страны характеризуются разными типами агентов. В Евросоюзе живут люди, желающие потреблять во 2 периоде с вероятностью 1. В ROW – с вероятностью π. В противном случае они оставляют актив как случайное наследство.

4. Правительства обеих стран выпускают активы, приносящие процент (r на евро и r* на другую валюту) для сделок между молодыми и старыми агентами.

Таблица 1. Распределение капитала ECB, 2007

Страна	Доля подписного капитала, %	Доля оплаченного капитала, %	Доля в перераспределении, %
Бельгия	2,471	3,449	3,555
Германия	20,521	28,643	29,523
Ирландия	0,889	1,24	1,278
Греция	1,817	2,536	2,614
Испания	7,550	10,538	10,862
Франция	14,387	20,082	20,699
Италия	12,53	17,489	18,026
Люксембург	0,157	0,220	0,227
Нидерланды	3,894	5,435	5,602
Австрия	2,016	2,814	2,9
Португалия	1,714	2,392	2,465
Словения	0,319	0,446	0,46
Финляндия	1,245	1,737	1,791
Еврозона, в целом	69,509	97,021	100
Чехия	1,388	0,136
Дания	1,514	0,148
Эстония	0,17	0,017
Кипр	0,125	0,012
Латвия	0,281	0,027
Литва	0,418	0,041
Венгрия	1,314	0,128
Мальта	0,062	0,006
Польша	4,875	0,476
Словакия	0,676	0,066
Швеция	2,331	0,228
Великобритания	13,934	1,361
Остальные страны ЕС до 2007 г., в целом	27,089	2,647
Болгария	0,883	0,086
Румыния	2,519	0,246
Остальные страны ЕС, в целом	3,402	0,332
ЕС, в целом	100	100
Общий объём капитала, млрд. евро	5760,65

Таблица 2. Распределение капитала ECB, 2010

Страна	Доля подписного капитала, %	Доля оплаченного капитала, %	Доля в перераспределении, %
Бельгия	2,426	3,373	3,475
Германия	18,937	26,336	27,134
Ирландия	1,111	1,545	1,591
Греция	1,965	2,733	2,815
Испания	8,304	11,548	11,898
Франция	14,221	19,777	20,377
Италия	12,497	17,379	17,906
Кипр	0,137	0,19	0,196
Люксембург	0,175	0,243	0,25
Мальта	0,063	0,088	0,091
Нидерланды	3,988	5,546	5,714
Австрия	1,942	2,7	2,782
Португалия	1,75	2,434	2,508
Словения	0,329	0,457	0,471
Словакия	0,693	0,964	0,994
Финляндия	1,254	1,744	1,797
Еврозона, в целом	69,792	97,059	100
Болгария	0,869	0,085
Чехия	1,447	0,141
Дания	1,483	0,144
Эстония	0,179	0,017
Латвия	0,284	0,028
Литва	0,426	0,041
Венгрия	1,386	0,135
Польша	4,895	0,477
Румыния	2,464	0,24
Швеция	2,258	0,22
Великобритания	14,517	1,413
Остальные страны ЕС, в целом	30,208	2,941
ЕС, в целом	100	100
Общий объём капитала, млрд. евро	5760,65

Таблица 3. Коэффициент переплаты, 2007

Страна	Наличность в обращении		Доля в перераспределении, %	Коэффициент переплат
	млрд. евро	%
Бельгия	23,238	3,61	3,55		0,983
Германия	190,090	29,57	29,52		0,998
Ирландия	8,611	1,34	1,28		0,954
Греция	16,944	2,64	2,61		0,992
Испания	70,920	11,03	10,86		0,985
Франция	131,086	20,39	20,70		1,015
Италия	115,623	17,99	18,03		1,002
Люксембург	1,576	0,25	0,23		0,925
Нидерланды	35,464	5,52	5,60		1,015
Австрия	18,979	2,95	2,90		0,982
Португалия	15,828	2,46	2,47		1,001
Словения	2,947	0,46	0,46		1,002
Финляндия	11,578	1,80	1,79		0,994
Еврозона, в целом	642,8835	100	100

Таблица 4. Коэффициент переплаты, 2010

Страна	Наличность в обращении		Доля в перераспределении, %	Коэффициент переплат
	млрд. евро	%
Бельгия	28,229	3,55	3,48		0,980
Германия	217,176	27,29	27,13		0,994
Ирландия	12,966	1,63	1,59		0,977
Греция	22,517	2,83	2,82		0,995
Испания	95,502	12,00	11,90		0,991
Франция	160,096	20,12	20,38		1,013
Италия	142,321	17,89	17,91		1,001
Люксембург	2,143	0,27	0,25		0,930
Нидерланды	44,595	5,60	5,71		1,020
Австрия	22,760	2,86	2,78		0,973
Португалия	19,914	2,50	2,51		1,002
Финляндия	14,392	1,81	1,80		0,993
Суммарно по "старым" странам	782,611	98,35	98,25		0,999
Кипр	1,607	0,20	0,20		0,971
Мальта	0,742	0,09	0,09		0,971
Словения	3,686	0,46	0,47		1,017
Словакия	7,107	0,89	0,99		1,112
Суммарно по "новым странам"	13,142	1,652	1,751		1,060
Еврозона, в целом	795,753	100	100

5. 4 отдельных рынка определены ценами ( для разных типов агентов) и валютой, в которой цены исчисляются. (Отдельные агенты не могут влиять на цену.)

6. Покупатели приходят последовательно, рынок открывается, когда приходят покупатели, готовые купить по данной цене. Откроется или нет – зависит от реализации спроса и состава владения активами. Если старые агенты первого типа владеют и евро, и другой валютой, первый рынок с каждой валютой точно открыт. Если агенты второго типа держат и евро, и другую валюту, второй рынок каждой валюты откроется с вероятностью π. Если у какого-либо типа нет какой-то валюты, соответствующий рынок не откроется.

В качестве приближения к реальной ситуации рассматриваем случай, когда 1 тип агентов предпочитает только евро, т. е. первый рынок с другой валютой никогда не откроется.

Задача молодых агентов (продавцов) – максимизировать ожидаемую полезность, распределяя свой фонд между 4 рынками до того, как спрос определён. Они формируют ожидания о доходах, получаемых от продажи на каждом рынке. Чтобы на втором рынке с каждой валютой были размещены товары, цена на этих рынках должна быть выше, чем на первых.

j-тый продавец решает следующую задачу:

- предложение j-того продавца на i-том рынке с евро, - предложение j-того продавца на i-том рынке с другой валютой; R=1+r; R*=1+r*; - ожидаемые купленные единицы товара на рынке с евро и другой валютой соответственно; - реально купленные единицы товара, зависящие от распределения валют - количество евро у агента j-того типа, - количество другой валюты у агента j-того типа.

При отсутствии первого рынка другой валюты получаем, что , то есть все евро, имевшиеся у агентов второго типа, потрачены на приобретение товара на втором рынке другой валюты, и что , то есть доходы агентов второго типа на первом рынке с евро используются для уплаты сеньоража (проценты r по евро).

В усложненном варианте модели (с производством, ростом населения и возможностью сберегать) становится возможным рассчитать благосостояние страны.

Производственная функция имеет вид:

где L – количество труда.

- потребление, где π – вероятность совершения покупки (или предельная склонность к потреблению), Ф – темп роста населения, q – ставка процента по вкладам.

«Мировой плановик» стремится максимизировать благосостояние государства:

Условием первого порядка является:

(22).

В случае полной интеграции стран «мировой плановик» решает задачу:

c, с* - количество единиц, выдаваемых плановиком старым агентам первого и второго типов соответственно; b- число молодых агентов в «остальном мире»; 1/Ф – число старых агентов в Евросоюзе; L, L* - количество труда молодых агентов в Евросоюзе и в остальном мире.

Условия первого порядка для этой задачи:

Получаем условия как и для случая, когда остальной мир не учитывается. Максимум достигается там же.

Итак, получение сеньоража с других стран является возможным, однако при этом нельзя увеличить благосостояние относительно достигнутого в условиях, когда не существует спроса на валюту со стороны остального мира.

Тогда справедлив вопрос, как наиболее справедливо распределить этот «экстра-сеньораж» между странами валютного союза? Некоторые из стран, чьи национальные валюты, предшествующие формированию валютного союза, имели хорошую репутацию стабильной валюты и активно обращались на мировом рынке, могут претендовать на получение внешнего сеньоража. К таким валютам можно отнести, например, немецкую марку. Германия утрачивает возможность получать внешний сеньораж, вступая в валютный союз. Но на репутацию евро в момент его появления огромное влияние оказала как раз репутация ликвидируемой марки. Тем не менее, в долгосрочном периоде репутация новой валюты зависит исключительно от её собственной стабильности и ни одна из стран-участников не в праве предъявлять какие-либо исключительные права на внешний сеньораж.

Как понятно из сказанного выше, Европейский ЦБ не распределяет сеньораж, полученный из внешнего мира, каким-то особенным образом. Эта часть входит в общий объём сеньоража и пропорционально акционерным долям распределяется между участниками. Это является ещё одним фактором того, что страны, недавно присоединившиеся к союзу, получают относительно больший выигрыш.