3.1.1. Правило принятия решения

В теории статистических решений существует очень простое и вместе с тем достаточно общее решающее правило. Однако, прежде чем сформулировать его, необходимо определить ряд новых понятий, которые позволят дать вероятностное описание ситуации.

Еще до попадания в ситуацию, в которой будет необходимо принимать решение, у человека имеются определенные знания, представления и предположения о ней. Можно сказать, что у субъекта формируется некоторая предвосхищающая модель ситуации (среды), в которой ему предстоит действовать. Совокупность этих знаний и представлений независимо от их источника, будем называть априорной информацией (т.е. полученной априори, «до опыта»). Если речь идет о конкретных событиях, которые должны произойти в будущем, и относительно которых у субъекта есть некоторая априорная информация, то можно говорить об априорной вероятности этих событий. Априорная вероятность – это сформированная на основе имеющейся априорной информации оценка возможности наступления события в будущей ситуации, в которой предстоит принимать решение. Обозначаются априорные вероятности q.

Как правило, предполагается, что субъект формирует оценку априорных вероятностей q_i=p(h_i) возможных состояний среды h_i, так как в любой ситуации человек стремится спрогнозировать дальнейшее развитие событий. Поскольку множество этих состояний образует полную систему событий, то сумма их априорных вероятностей должна быть равна единице:

. (4)

Априорные вероятности человек оценивает до получения информации о состоянии среды e_j, основываясь на своих знаниях, представлениях, ранее полученной информации и т.д.

Так, в примере «Охотник» априорные вероятности наличия зайца в лесу q₁=p(h₁), и его отсутствия там q₂=p(h₂) могут определяться охотником на основании рассказов местных жителей из соседней деревни или его воспоминаний о прошлой охоте в этом лесу, и т.д. Другими словами, q₁ и q₂ отражают оценку охотником возможности существования состояния среды h₁ (заяц есть) состояния h₂ (зайца нет) еще до того, как он отправился в лес на охоту.

После получения информации e_j самое важное изменение знаний о среде будет состоять в том, что уже существующие априорные вероятности p(h_i) перейдут в апостериорные вероятности p(h_i /e_j).

Апостериорная вероятность p(h_i /e_j) - вероятность того, что действительно может иметь место состояние среды h_i с учетом полученной информации e_j. То есть это представления субъекта о возможном состоянии среды, опирающееся на его предварительные (априорные) знания о ней, но уже скорректированные, измененные с учетом поступившей (апостериорной) информации.

В примере «Охотник» p(h₁/e₁) отражает субъективную вероятность наличия в кустах зайца после того, как охотник услышал оттуда шорох, p(h₂/e₁) -. субъективную вероятность отсутствия зайца при наличии шороха, p(h₂/e₂) – субъективную вероятность отсутствия зайца при отсутствии шороха, p(h₁/e₂) – субъективную вероятность наличия зайца при отсутствии шороха.

Эти величины (апостериорные вероятности) являются основной информацией, на которой базируется принятие решения.

Правило принятия решения в этом случае состоит в том, чтобы сравнить между собой апостериорные вероятности различных гипотез и принять ту из них, для которой апостериорная вероятность наибольшая.

Для самого простого случая, когда возможны только два состояния среды (h₁ и h₂) и, соответственно, высказывается простая двухальтернативная гипотеза (H₁ и H₂), правило принятия решения выглядит следующим образом:

если p(h₁ /e_j) > p(h₂ /e_j), то принимается гипотеза H₁,

если p(h₁ /e_j) < p(h₂ /e_j), то принимается гипотеза H₂.

Таким образом, смысл правила принятия решения состоит в том, что принимается наиболее вероятная гипотеза с учетом полученной информации e_j.

Вербальная формулировка решающего правила может быть следующей:

- если с учетом поступившей апостериорной информации e_j вероятность существования состояния среды h₁ будет больше вероятности существования состояния h₂, то принимается гипотеза H₁;

- если с учетом поступившей апостериорной информации e_j вероятность существования состояния среды h₁ будет меньше вероятности существования состояния h₂, то принимается гипотеза H₂.

На основании теоремы Байеса имеем:

P(h₁ /e_j) = , (5)

и решающее правило можно теперь записать так:

Если < , то принимаем H₁; (6a)

Если , то принимаем H₂. (6b)

Здесь: p(e_j /h₂) – вероятность того, что появление апостериорной информации e_j вызвано состоянием среды h₂ ;

p(e_j /h₁) – вероятность того, что появление апостериорной информации e_j вызвано состоянием среды h₁.

Используем следующие обозначения:

λ(e_j) = ; (7)

λ₀ = . (8)

Вновь введенные величины получили названия:

λ(e_j) – отношение правдоподобия,

λ₀ – порог принятия решения.

Теперь решающее правило может быть записано так:

если λ(e_j) < λ₀, то принимаем гипотезу H₁; (9a)

если λ(e_j) λ₀, то принимаем гипотезу H₂ (9b)

пример: Ситуация «Охотник».

Состояние среды: h₁ – заяц есть; h₂ – зайца нет.

Гипотезы: H₁ – заяц есть; H₂ – зайца нет.

Априорная информация: Среди охотников прошел слух: «В лесу зайцев видимо–невидимо!». Жители окрестных деревень, видевшие много охотников (и собравшие «статистику»), говорят: «Заяц есть! Каждые 9 из 10 охотников возвращаются с зайцем».

Апостериорная информация: e_j – шорох в кустах, который слышит охотник.

Априорные вероятности: q₁=0,9 – вероятность, с которой охотник ожидает встретить зайца; q₂=0,1 - вероятность, с которой охотник ожидает его не встретить. (q₁+q₂=1).

Апостериорные вероятности: p(e_j /h₁)=0,2 – вероятность того, что данный шорох в кустах вызван зайцем; p(e_j/h₂)=0,8 - вероятность того, что данный шорох имеет другую причину (ветер, мышь и пр.).

Порог принятия решения: λ₀ = = = 9.

Отношение правдоподобия: λ(e_j)= = = 4.

Принятие решения: Применяя сформулированное выше правило принятия решения, получаем: λ(e_j) < λ₀ (т.к. 4<9), что означает принятие гипотезы H₁ – «Заяц есть!» и выполнение соответствующего действия: «Стрелять!».

В случае получения охотником другой априорной информации могут измениться априорные вероятности, из-за чего изменится порог принятия решения и, как следствие, может быть принято другое решение: Например, жители окрестных деревень говорят охотнику: «Заяц не то чтобы он есть, но и не то, чтобы его не было». Тогда:

Априорные вероятности: q₁=q₂=0,5.

Порог принятия решения: λ₀=1.

Принятие решения: в той же ситуации имеем λ(e_j) > λ₀ (т.е. 4>1), следовательно, принимается гипотеза H₂ - «Зайца нет!» - и охотник воздерживается от выстрела.