- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Однородные ду
- •Линейные ду 1−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия
- •1. : Функция является решением ду ;
- •Дополнительные сведения
- •Линейные ду 2−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения n−ого порядка Первоначальные понятия
- •П.3 Линейные ду n−ого порядка
- •Системы лнду n−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 1-ого порядка
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Общая схема решения лнду с постоянными коэффициентами Общее решение лнду имеет вид:
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
ДУ 2-ого порядка |
ДУ n -ого порядка |
Последовательно проинтегрируем данное уравнение дважды по . |
Последовательно проинтегрируем данное уравнение n−раз по . |
ДУ не содержит у: или Замена , |
ДУ не содержит у и несколько её первых производных:
Замена , тогда . |
ДУ не содержит х: или Замена , |
ДУ не содержит х:
Замена , , и т.д. |
Общая схема решения лнду с постоянными коэффициентами Общее решение лнду имеет вид:
Ι. Общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами |
|||
ЛОДУ 2-ого порядка Общее решение: |
|||
Если – корни характеристического уравнения
|
То фундаментальные решения, соответствующие корню характеристического уравнения, имеют вид: |
||
Если , то – − действительные и различные |
|
||
Если , – действительный корень кратности |
|
||
Если , то – −комплексно−сопряженные |
, . |
||
ЛОДУ n-ого порядка Общее решение: |
|||
Если – корни характеристического уравнения
|
То фундаментальные решения, соответствующие корню характеристического уравнения с учетом его кратности, имеют вид: |
||
– простой действительный |
|
||
– действительный корень кратности |
, , , … , . |
||
– простые комплексно−сопряженные корни |
, . |
||
– комплексно−сопряженные корни кратности |
, , , , …., , . |
||
ΙΙ. Частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами
|
|||
Если , то , где – частное решение ЛНДУ , – частное решение ЛНДУ . |
|||
Если − специального вида |
1.
|
, где r – число корней характеристического уравнения В частности: ; ; и т.д. |
|
2.
|
, где r – число корней характеристического уравнения |
||
3.
|
, где r – число корней характеристического уравнения |
||
4.
|
, где r – число корней характеристического уравнения |
||
Если − общего вида |
ЛНДУ 2-ого порядка
где определяются системой
|
||
ЛНДУ n-го порядка
где определяются системой
|