- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Однородные ду
- •Линейные ду 1−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия
- •1. : Функция является решением ду ;
- •Дополнительные сведения
- •Линейные ду 2−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения n−ого порядка Первоначальные понятия
- •П.3 Линейные ду n−ого порядка
- •Системы лнду n−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 1-ого порядка
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Общая схема решения лнду с постоянными коэффициентами Общее решение лнду имеет вид:
Дифференциальные уравнения 1-ого порядка
ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |
|||
- Разделим обе части уравнения на и проинтегрируем:
|
Заменим и, разделив переменные, проинтегрируем: . |
||
УРАВНЕНИЕ КЛЕРО: |
|||
Введем замену . Исходное уравнение примет вид: , которое продифференцируем по переменной x: . Решаем полученное ДУ относительно . Если , то общее решение ДУ: . Если , то получаем частное решение . |
|||
ДУ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ: , |
|||
Функцию можно восстановить из условий :
Тогда . Т. о. решением исходного ДУ есть выражение . |
|||
ДУ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ДУ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ: |
|||
Находим интегрирующий множитель , так что: − уравнение в полных дифференциалах. |
|||
− не зависит от x, то . |
− не зависит от y, то . |
||
ОДНОРОДНЫЕ ДУ |
|||
, если функции , являются однородными одной и той же степени. |
|
||
Введем замену , тогда и или . При подстановке в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, которое решим интегрированием относительно функции . Возвращаясь к замене, получим решение исходного ДУ. |
|||
ДУ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ: |
|||
Составим систему линейных уравнений: |
|||
Если , то система имеет единственное решение . Введем замену
Исходное уравнение сведется к однородному ДУ. |
Если , то Введем замену , и получим ДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными.
|
||
− ЛНДУ 1−ого порядка −Уравнение Бернулли |
Если
|
||
− − ДУ с разделяющимися переменными:
|
составим характеристическое уравнение: . Решение записывают в виде
|
||
Подставим в исходное уравнение и получим ДУ с разделяющимися переменными. Проинтегрировав, получим и, соответственно, (пренебрегая константой интегрирования). |
|||
|