Дифференциальные уравнения n−ого порядка Первоначальные понятия

• Общим решением ДУ n-ого порядка называется функция , которая удовлетворяет условиям:

  1. является решением ДУ для каждого фиксированного значения ;

  2. Каковы бы ни были начальные условия , ,…, существуют единственные значения такие, что функция удовлетворяет данным начальным условиям.

• Всякое решение ДУ, полученное из общего называется частным решением.

Простейшие ДУ n−ого порядка

	Последовательно проинтегрируем данное уравнение n−раз по и получим общее решение ДУ.
ДУ не содержит у:	Введем замену , где и получим ДУ ( −ого порядка.
ДУ не содержит у и несколько её первых производных:	Введем замену , тогда и получим ДУ −ого порядка.
ДУ не содержит х:	Введем замену , где ;

П.3 Линейные ду n−ого порядка

• Линейным ДУ n-ого порядка называется уравнение вида :

,

где – заданные функции от x.

• Функции называются коэффициентами данного ДУ, а функция – его свободным членом.

• Если свободный член , то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ): . (*)

• Если свободный член , то уравнение называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ): . (**)

• Если все коэффициенты ЛОДУ константны , то уравнение: (***)

называется ЛОДУ с постоянными коэффициентами

• Характеристическое уравнение ЛОДУ:

. (****)

• Фундаментальная система решений ЛОДУ n-ого порядка − это совокупность любых n ЛНЗ частных решений , , …, данного уравнения.

Структура общего решения ЛОДУ с пост. Коэффициентами.

Если – корни характеристического уравнения	то фундаментальные решения, соответствующие корню характеристического уравнения с учетом его кратности, имеют вид:
– простой действительный
– действительный корень кратности	, , , … , .
– простые комплексно−сопряженные корни	, .
– комплексно−сопряженные корни кратности	, , , , …., , .

Системы лнду n−ого порядка

• Системой ЛНДУ с постоянными коэффициентами называется система вида:

где − неизвестные функции,

− заданные функции,

− числовые коэффициенты.

• Функции называются свободными членами ДУ.

• Если хотя бы один свободный член , то система уравнений называется неоднородной (СЛНДУ).

• Если все свободные члены , то система уравнений называется однородной (СЛОДУ).

• Решением СЛДУ называется совокупность функций, которые при подстановке обращают каждое ДУ в верное тождество.