![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Ду в полных дифференциалах
- •Однородные ду
- •Линейные ду 1−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия
- •1. : Функция является решением ду ;
- •Дополнительные сведения
- •Линейные ду 2−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения n−ого порядка Первоначальные понятия
- •П.3 Линейные ду n−ого порядка
- •Системы лнду n−ого порядка
- •Дифференциальные уравнения 1-ого порядка
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
- •Общая схема решения лнду с постоянными коэффициентами Общее решение лнду имеет вид:
Линейные ду 1−ого порядка
Если в записи ДУ искомая функция
и её производная
находятся в первых степенях, то ДУ называется линейным.
−
линейное однородное
ДУ;
−
линейное неоднородное
ДУ;
−уравнение
Бернулли;
Алгоритм решения:
|
Если
|
− ДУ с разделяющимися переменными:
|
составим
характеристическое уравнение:
Решение записывают в виде:
|
Подставим
Проинтегрировав,
получим
и, соответственно,
|
|
|
Дифференциальные уравнения 2−ого порядка Первоначальные понятия
Функция
называется общим решением ДУ
, если:
1. : Функция является решением ду ;
2. Каковы бы не
были начальные условия
,
существует единственный набор
значений
,
такой, что функция
удовлетворяет заданным начальным
условиям.
Частным решением ДУ 2-ого порядка называется любая функция , полученная из общего решения при конкретных значениях постоянных , .
Простейшие ДУ 2−ого порядка
|
Последовательно
проинтегрируем
данное уравнение дважды
по
|
ДУ не содержит у:
|
Введем
замену
и получим ДУ 1-ого порядка. Решив
его, т.е. найдя функцию
|
ДУ
не
содержит х:
|
Введем замену , где
и получим ДУ 1-ого порядка. Решив
его, т.е. найдя функцию
|
Дополнительные сведения
Функция называется линейной комбинацией функций
, …,
, если существуют числа
, .. ,
, для которых справедливо равенство:
Функции ,
, … , называются ЛЗ на интервале
, если для их нулевой линейной комбинации:
(*)
существуют числа , …, , одновременно неравные нулю.
Учитывая равенство
(*), справедливо:
,
−
ЛЗ
.
Функции , , … , называются ЛНЗ на интервале , если их нулевая линейная комбинация: возможна только тогда, когда все числа , .. , одновременно равны нулю.
Определителем Вронского (Вронскианом) называется определитель, составленный из функций и их производных:
,
,
…
Линейные ду 2−ого порядка
− линейное
неоднородное ДУ.
− линейное
однородное ДУ.
Замечание.
Если
,
то ДУ называется линейным с постоянными
коэффициентами.
Ι. Линейное однородное ДУ 2−ого порядка
Фундаментальная система решений ЛОДУ 2-ого порядка это совокупность любых двух ЛНЗ частных решений
,
данного уравнения.
Линейное однородное ДУ 2−ого порядка
с
постоянными коэффициентами
(**)
Уравнение
− есть характеристическое уравнение
исходного ДУ.
если корни действительны и
|
если корни действительны и
|
если корни − −комплексные
числа
|
то общее решение исходного ДУ имеет
вид:
|
то общее решение исходного ДУ имеет
вид:
|
то общее решение исходного ДУ имеет
вид:
|
Линейное неоднородное ДУ 2−ого порядка
Линейное неоднородное ДУ 2−ого порядка
с
постоянными коэффициентами
Если
|
|
1.
|
где r – число корней характеристического
уравнения
В частности:
|
2.
|
где r – число корней характеристического уравнения
|
3.
|
где r – число корней характеристического уравнения
|
4.
|
где r – число корней характеристического уравнения
|